Алгебра Хопфа — асоціативна алгебра з одиницею, що є також коасоціативною коалгеброю з коодиницею і, таким чином, біалгеброю з антигомоморфізмом спеціального виду. Названа на честь Хайнца Хопфа.
Алгебри Хопфа зустрічаються в алгебраїчній топології, де вони виникли у зв'язку з концепцією H-простору, в теорії групових схем, в теорії груп (завдяки концепції групового кільця), і в багатьох інших розділах математики, що робить їх одним з найвідоміших прикладів біалгебри. Алгебри Хопфа також вивчаються як самостійний предмет, у зв'язку з великою кількістю певних класів алгебр Хопфа і проблем їх класифікації.
Означення
Алгебра Хопфа — асоціативна і коасоціативна H над полем разом з
-лінійним відображенням
(що називається антиподом) таким, що наступна діаграма є комутативною:
Тут Δ — кодобуток біалгебри, ∇ — добуток алгебри, η — одиниця алгебри й ε — коодиниця.
У позначеннях Свідлера, ця властивість записується як:
.
Наведене означення можна узагальнити для алгебр над кільцями (досить в означенні замінити поле на комутативне кільце
).
Означення алгебри Хопфа є двоїстим самому собі (це відображено в симетрії наведеної діаграми), зокрема, якщо можна задати двоїсту алгебру до H (це завжди можливо якщо H є скінченновимірним простором) то вона автоматично є алгеброю Хопфа.
Структурні константи
Зафіксувавши базис алгебри як векторного простору, алгебру Хопфа можна описати за допомогою структурних констант
для множення:
для кодобутку:
для антипода:
Асоціативність алгебри тоді вимагає рівності
для коасоціативності має виконуватися рівність
Також для структурних констав має бути
Властивості антипода
В означенні алгебр Хопфа для антипода S часто ставиться вимога існування K-лінійного оберненого відображення, яке автоматично існує у скінченновимірному випадку, або якщо алгебра H є комутативною, кокомутативною або, більш загально, квазітрикутною.
Взагалі кажучи, S є , так S2 - гомоморфізм, який буде автоморфізмом, якщо S є оборотним.
Якщо , то алгебра Хопфа, як кажуть, є інволютивною (основним прикладом інволютивної алгебри є *-алгебра). Якщо H — скінченновимірна напівпроста алгебра над полем характеристики нуль, що є комутативною або кокомутативною, то вона є інволютивною.
Якщо біалгебра B допускає антипод S, то S є єдиним (довільна біалгебра допускає щонайбільше 1 структуру алгебри Хопфа).
Антипод є аналогом відображення інверсії на групі, яке відображає у
.
Підалгебри Хопфа
Підалгебра A алгебри Хопфа H є підалгеброю Хопфа, якщо вона є підкоалгеброю H і антипод S відображає A в A. Іншими словами, підалгебра Хопфа A - це підпростір в алгебрі Хопфа, замкнутий щодо множення, кодобутку й антипода. Теорема Ніколса — Зеллер (Nichols - Zoeller) про вільність стверджує, що якщо H є скінченновимірною, то натуральний A-модуль H є вільним модулем скінченного рангу, що дає узагальнення теореми Лагранжа для підгруп. Як наслідок цього, підалгебра Хопфа напівпростої скінченновимірної алгебри Хопфа автоматично є напівпростою.
Підалгебра Хопфа A називається правою нормальною підалгеброю алгебри Хопфа H, якщо вона задовольняє умові стабільності, для всіх h з H, де приєднане відображення
задане як
для всіх a з A і h з H. Підалгебра Хопфа K є лівою нормальною в H якщо вона інваріантна при лівому приєднаному відображенню
для всіх k з K. Обидві умови нормальності є еквівалентними, якщо антипод S є бієктивним. У цьому випадку A називається нормальною підалгеброю Хопфа.
Нормальна підалгебра Хопфа A в H задовольняє умові рівності підмножин: , де
позначає ядро коодиниці K. З цієї умови нормальності випливає, що
— ідеал алгебри Хопфа H (тобто є ідеалом алгебри в ядрі коодиниці, коідеалом коалебри й стійким під дією антипода). Як наслідок, можна визначити факторалгебру Хопфа
і епіморфізм
, аналогічно відповідним конструкціям нормальних підгруп і факторгруп у теорії груп.
Приклади
Залежить від | Кодобуток | Коодиниця | Антипод | Комутативність | Кокомутативність | Зауваження | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Групова алгебра KG | групи G | Δ(g) = g ⊗ g для всіх g з G | ε(g) = 1 для всіх g із G | S(g) = g−1 для всіх g з G | тільки коли G є комутативною | так | |
функції f зі скінченної групи в K, KG (з поточковим додаванням і множенням) | скінченна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | |
Функції представлення компактних груп | Компактна група G | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна, інволютивна, редукована алгебра Хопфа над C зі скінченним інтегралом Хаара може бути отримана в такий спосіб (двоїстість Танаки — Крейна). |
Регулярні функції на алгебричних групах | Δ(f)(x,y) = f(xy) | ε(f) = f(1G) | S(f)(x) = f(x−1) | так | тільки якщо G є комутативною | Навпаки, кожна комутативна алгебра Хопфа над полем одержується в такий спосіб їхньої групової схеми. | |
Тензорна алгебра T(V) | Векторний простір V | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, x з V, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(x) = 0 | S(x) = −x для всіх x з 'T1(V) (і далі узагальнивши на вищі тензорні степені) | Тільки якщо dim(V)=0,1 | так | Симетрична алгебра і зовнішня алгебра (що є факторалгебрами тензорної алгебри) теж є алгебрами Хопфа із відповідними означеннями |
Універсальна обгортуюча алгебра U(g) | Алгебра Лі g | Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x для всіх x з g (це правило можна в єдиний спосіб продовжити на всю U) | ε(x) = 0 для всіх x з g (із продовженням на U) | S(x) = −x | тільки якщо g є комутативною | так | |
Алгебра Свідлера H=K[c, x]/c2 = 1, x2 = 0 і xc = −cx. | K — поле характеристика якого не рівна 2 | Δ(c) = c ⊗ c, Δ(x) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1 | ε(c) = 1 і ε(x) = 0 | S(c) = c−1 = c і S(x) = −cx | ні | ні | Векторний простір породжений елементами {1, c, x, cx} і має розмірність 4.Це найменший приклад алгебри Хопфа, що не є ні комутативними, ні кокомутативними. |
Кільце симетричних функцій | в термінах повних однорідних симетричних функцій hk (k ≥ 1): Δ(hk) = 1 ⊗ hk + h1 ⊗ hk−1 + ... + hk−1 ⊗ h1 + hk ⊗ 1. | ε(hk) = 0 | S(hk) = (−1)k ek | так | так |
Когомології груп Лі
Алгебра когомологій групи Лі — алгебра Хопфа: множення задано -добутком, а кодобуток
множенням групи .
Це спостереження було фактично джерелом поняття алгебри Хопфа. Використовуючи цю структуру, Хопф довів структурну теорему для алгебри когомологій груп Лі.
Теорема Хопфа Нехай A — скінченновимірна, , кокомутативна алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тоді A (як алгебра) є вільною зовнішньою алгеброю з генераторами непарного степеня.
Квантові групи
Всі приклади вище є або комутативними (тобто множення є комутативним) або кокомутативними (тобто Δ = T ∘ Δ, де T : H ⊗ H → H ⊗ H — перестановка тензорних множників, задана як T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Іншими цікавими прикладами алгебр Хопфа — деякі деформації або «квантування» прикладу 4, які не є ні комутативними, ні кокомутативними. Ці алгебри Хопфа часто називають .
Ідея полягає в наступному: звичайна алгебрична група може бути описана в термінах алгебри Хопфа регулярних функцій. Ми можемо тоді думати про деформації цієї алгебри Хопфа як про опис деякої «квантованої» алгебричної групи (хоча вона і не є алгебричною групою). Багато властивостей алгебричних груп, а також конструкції з ними мають свої аналоги для деформованих алгебр Хопфа. Звідси назва «квантова група».
Аналогія з групами
Аксіоми груп можна подати за допомогою тих же діаграм (еквівалентностей, операцій) що й алгебри Хопфа, де H — множина, а не модуль. У цьому випадку:
- кільце R замінюється множиною з 1 елемента
- є природна коодиниця (відображення в єдиний елемент)
- є природний кодобуток (діагональне відображення)
- одиниця — нейтральний елемент групи
- множення — множення в групі
- антипод — обернений елементу в групі.
В цьому сенсі групи можна розглядати як алгебри Хопфа над полем з одного елемента.
Примітки
- Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153 [ 6 жовтня 2014 у Wayback Machine.]
- Dascalescu, Nastasescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3,
- Quantum groups lecture notes (PDF) (англ.).
- S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993.
- Зі скінченності G випливає природний ізоморфізм KG ⊗ KG і KGxG. Це використовується для формули кодобутку. Для нескінченних груп G, KG ⊗ KG є власною підмножиною KGxG.
- Hochschild, G (1965), Structure of Lie groups, Holden-Day, с. 14—32
- (2003), Representations of algebraic groups, Mathematical Surveys and Monographs, т. 107 (вид. 2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN , section 2.3
- Michiel Hazewinkel, Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions, Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83
- Hopf, 1941.
- Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar [ 9 липня 2011 у Wayback Machine.], Group objects and Hopf algebras [ 18 квітня 2016 у Wayback Machine.], video of Simon Willerton.
Див. також
Література
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras. An introduction, Pure and Applied Mathematics, т. 235 (вид. 1st), Marcel Dekker, ISBN , Zbl 0962.16026.
- Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras [ 9 серпня 2017 у Wayback Machine.], IHES preprint, September 2006, 81 pages
- Fuchs, Jürgen (1992), Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN , Zbl 0925.17031
- H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). MR4784, Zbl 0025.09303
- Montgomery, Susan (1993), Hopf algebras and their actions on rings, Regional Conference Series in Mathematics, т. 82, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN , Zbl 0793.16029
- Street, Ross (2007), Quantum groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, т. 19, Cambridge University Press, ISBN , MR 2294803, Zbl 1117.16031.
- Sweedler, Moss E. (1969), , Mathematics Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York, MR 0252485, Zbl 0194.32901, архів оригіналу за 28 червня 2014, процитовано 7 грудня 2017
- Underwood, Robert G. (2011), An introduction to Hopf algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 1234.16022
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Algebra Hopfa asociativna algebra z odiniceyu sho ye takozh koasociativnoyu koalgebroyu z koodiniceyu i takim chinom bialgebroyu z antigomomorfizmom specialnogo vidu Nazvana na chest Hajnca Hopfa Algebri Hopfa zustrichayutsya v algebrayichnij topologiyi de voni vinikli u zv yazku z koncepciyeyu H prostoru v teoriyi grupovih shem v teoriyi grup zavdyaki koncepciyi grupovogo kilcya i v bagatoh inshih rozdilah matematiki sho robit yih odnim z najvidomishih prikladiv bialgebri Algebri Hopfa takozh vivchayutsya yak samostijnij predmet u zv yazku z velikoyu kilkistyu pevnih klasiv algebr Hopfa i problem yih klasifikaciyi OznachennyaAlgebra Hopfa asociativna i koasociativna H nad polem K displaystyle K razom z K displaystyle K linijnim vidobrazhennyam S H H displaystyle S colon H to H sho nazivayetsya antipodom takim sho nastupna diagrama ye komutativnoyu Tut D kodobutok bialgebri dobutok algebri h odinicya algebri j e koodinicya U poznachennyah Svidlera cya vlastivist zapisuyetsya yak S c 1 c 2 c 1 S c 2 ϵ c 1 c H displaystyle S c 1 c 2 c 1 S c 2 epsilon c 1 qquad forall c in H Navedene oznachennya mozhna uzagalniti dlya algebr nad kilcyami dosit v oznachenni zaminiti pole K displaystyle K na komutativne kilce R displaystyle R Oznachennya algebri Hopfa ye dvoyistim samomu sobi ce vidobrazheno v simetriyi navedenoyi diagrami zokrema yaksho mozhna zadati dvoyistu algebru do H ce zavzhdi mozhlivo yaksho H ye skinchennovimirnim prostorom to vona avtomatichno ye algebroyu Hopfa Strukturni konstanti Zafiksuvavshi bazis e k displaystyle e k algebri yak vektornogo prostoru algebru Hopfa mozhna opisati za dopomogoyu strukturnih konstant dlya mnozhennya e i e j k m i j k e k displaystyle e i nabla e j sum k mu ij k e k dlya kodobutku D e i j k n i j k e j e k displaystyle Delta e i sum j k nu i jk e j otimes e k dlya antipoda S e i j t i j e j displaystyle Se i sum j tau i j e j Asociativnist algebri todi vimagaye rivnosti m i j k m k n m m j n k m i k m displaystyle mu ij k mu kn m mu jn k mu ik m dlya koasociativnosti maye vikonuvatisya rivnist n k i j n i m n n k m i n i n j displaystyle nu k ij nu i mn nu k mi nu i nj Takozh dlya strukturnih konstav maye buti n k i j t j m m p m n n k j m t j i m p m n displaystyle nu k ij tau j m mu pm n nu k jm tau j i mu pm n Vlastivosti antipodaV oznachenni algebr Hopfa dlya antipoda S chasto stavitsya vimoga isnuvannya K linijnogo obernenogo vidobrazhennya yake avtomatichno isnuye u skinchennovimirnomu vipadku abo yaksho algebra H ye komutativnoyu kokomutativnoyu abo bilsh zagalno kvazitrikutnoyu Vzagali kazhuchi S ye tak S2 gomomorfizm yakij bude avtomorfizmom yaksho S ye oborotnim Yaksho S 2 I d displaystyle S 2 Id to algebra Hopfa yak kazhut ye involyutivnoyu osnovnim prikladom involyutivnoyi algebri ye algebra Yaksho H skinchennovimirna napivprosta algebra nad polem harakteristiki nul sho ye komutativnoyu abo kokomutativnoyu to vona ye involyutivnoyu Yaksho bialgebra B dopuskaye antipod S to S ye yedinim dovilna bialgebra dopuskaye shonajbilshe 1 strukturu algebri Hopfa Antipod ye analogom vidobrazhennya inversiyi na grupi yake vidobrazhaye g displaystyle g u g 1 displaystyle g 1 Pidalgebri HopfaPidalgebra A algebri Hopfa H ye pidalgebroyu Hopfa yaksho vona ye pidkoalgebroyu H i antipod S vidobrazhaye A v A Inshimi slovami pidalgebra Hopfa A ce pidprostir v algebri Hopfa zamknutij shodo mnozhennya kodobutku j antipoda Teorema Nikolsa Zeller Nichols Zoeller pro vilnist stverdzhuye sho yaksho H ye skinchennovimirnoyu to naturalnij A modul H ye vilnim modulem skinchennogo rangu sho daye uzagalnennya teoremi Lagranzha dlya pidgrup Yak naslidok cogo pidalgebra Hopfa napivprostoyi skinchennovimirnoyi algebri Hopfa avtomatichno ye napivprostoyu Pidalgebra Hopfa A nazivayetsya pravoyu normalnoyu pidalgebroyu algebri Hopfa H yaksho vona zadovolnyaye umovi stabilnosti a d r h A A displaystyle ad r h A subseteq A dlya vsih h z H de priyednane vidobrazhennya a d r displaystyle ad r zadane yak a d r h a S h 1 a h 2 displaystyle ad r h a S h 1 ah 2 dlya vsih a z A i h z H Pidalgebra Hopfa K ye livoyu normalnoyu v H yaksho vona invariantna pri livomu priyednanomu vidobrazhennyu a d ℓ h k h 1 k S h 2 displaystyle ad ell h k h 1 kS h 2 dlya vsih k z K Obidvi umovi normalnosti ye ekvivalentnimi yaksho antipod S ye biyektivnim U comu vipadku A nazivayetsya normalnoyu pidalgebroyu Hopfa Normalna pidalgebra Hopfa A v H zadovolnyaye umovi rivnosti pidmnozhin H A A H displaystyle HA A H de A displaystyle A poznachaye yadro koodinici K Z ciyeyi umovi normalnosti viplivaye sho H A displaystyle HA ideal algebri Hopfa H tobto ye idealom algebri v yadri koodinici koidealom koalebri j stijkim pid diyeyu antipoda Yak naslidok mozhna viznachiti faktoralgebru Hopfa H H A displaystyle H HA i epimorfizm H H A H displaystyle H rightarrow H A H analogichno vidpovidnim konstrukciyam normalnih pidgrup i faktorgrup u teoriyi grup PrikladiZalezhit vid Kodobutok Koodinicya Antipod Komutativnist Kokomutativnist Zauvazhennya Grupova algebra KG grupi G D g g g dlya vsih g z G e g 1 dlya vsih g iz G S g g 1 dlya vsih g z G tilki koli G ye komutativnoyu tak funkciyi f zi skinchennoyi grupi v K KG z potochkovim dodavannyam i mnozhennyam skinchenna grupa G D f x y f xy e f f 1G S f x f x 1 tak tilki yaksho G ye komutativnoyu Funkciyi predstavlennya kompaktnih grup Kompaktna grupa G D f x y f xy e f f 1G S f x f x 1 tak tilki yaksho G ye komutativnoyu Navpaki kozhna komutativna involyutivna redukovana algebra Hopfa nad C zi skinchennim integralom Haara mozhe buti otrimana v takij sposib dvoyistist Tanaki Krejna Regulyarni funkciyi na algebrichnih grupah D f x y f xy e f f 1G S f x f x 1 tak tilki yaksho G ye komutativnoyu Navpaki kozhna komutativna algebra Hopfa nad polem oderzhuyetsya v takij sposib yihnoyi grupovoyi shemi Tenzorna algebra T V Vektornij prostir V D x x 1 1 x x z V D 1 1 1 e x 0 S x x dlya vsih x z T1 V i dali uzagalnivshi na vishi tenzorni stepeni Tilki yaksho dim V 0 1 tak Simetrichna algebra i zovnishnya algebra sho ye faktoralgebrami tenzornoyi algebri tezh ye algebrami Hopfa iz vidpovidnimi oznachennyami Universalna obgortuyucha algebra U g Algebra Li g D x x 1 1 x dlya vsih x z g ce pravilo mozhna v yedinij sposib prodovzhiti na vsyu U e x 0 dlya vsih x z g iz prodovzhennyam na U S x x tilki yaksho g ye komutativnoyu tak Algebra Svidlera H K c x c2 1 x2 0 i xc cx K pole harakteristika yakogo ne rivna 2 D c c c D x c x x 1 D 1 1 1 e c 1 i e x 0 S c c 1 c i S x cx ni ni Vektornij prostir porodzhenij elementami 1 c x cx i maye rozmirnist 4 Ce najmenshij priklad algebri Hopfa sho ne ye ni komutativnimi ni kokomutativnimi Kilce simetrichnih funkcij v terminah povnih odnoridnih simetrichnih funkcij hk k 1 D hk 1 hk h1 hk 1 hk 1 h1 hk 1 e hk 0 S hk 1 k ek tak takKogomologiyi grup LiAlgebra kogomologij grupi Li algebra Hopfa mnozhennya zadano displaystyle smile dobutkom a kodobutok H G H G G H G H G displaystyle H G rightarrow H G times G cong H G otimes H G mnozhennyam grupi G G G displaystyle G times G rightarrow G Ce sposterezhennya bulo faktichno dzherelom ponyattya algebri Hopfa Vikoristovuyuchi cyu strukturu Hopf doviv strukturnu teoremu dlya algebri kogomologij grup Li Teorema Hopfa Nehaj A skinchennovimirna kokomutativna algebra Hopfa nad polem harakteristiki 0 Todi A yak algebra ye vilnoyu zovnishnoyu algebroyu z generatorami neparnogo stepenya Kvantovi grupiVsi prikladi vishe ye abo komutativnimi tobto mnozhennya ye komutativnim abo kokomutativnimi tobto D T D de T H H H H perestanovka tenzornih mnozhnikiv zadana yak T x y y x Inshimi cikavimi prikladami algebr Hopfa deyaki deformaciyi abo kvantuvannya prikladu 4 yaki ne ye ni komutativnimi ni kokomutativnimi Ci algebri Hopfa chasto nazivayut Ideya polyagaye v nastupnomu zvichajna algebrichna grupa mozhe buti opisana v terminah algebri Hopfa regulyarnih funkcij Mi mozhemo todi dumati pro deformaciyi ciyeyi algebri Hopfa yak pro opis deyakoyi kvantovanoyi algebrichnoyi grupi hocha vona i ne ye algebrichnoyu grupoyu Bagato vlastivostej algebrichnih grup a takozh konstrukciyi z nimi mayut svoyi analogi dlya deformovanih algebr Hopfa Zvidsi nazva kvantova grupa Analogiya z grupamiAksiomi grup mozhna podati za dopomogoyu tih zhe diagram ekvivalentnostej operacij sho j algebri Hopfa de H mnozhina a ne modul U comu vipadku kilce R zaminyuyetsya mnozhinoyu z 1 elementa ye prirodna koodinicya vidobrazhennya v yedinij element ye prirodnij kodobutok diagonalne vidobrazhennya odinicya nejtralnij element grupi mnozhennya mnozhennya v grupi antipod obernenij elementu v grupi V comu sensi grupi mozhna rozglyadati yak algebri Hopfa nad polem z odnogo elementa PrimitkiDascalescu Nastasescu amp Raianu 2001 Prop 4 2 6 p 153 6 zhovtnya 2014 u Wayback Machine Dascalescu Nastasescu amp Raianu 2001 Remarks 4 2 3 Quantum groups lecture notes PDF angl S Montgomery Hopf algebras and their actions on rings Conf Board in Math Sci vol 82 A M S 1993 ISBN 0 8218 0738 2 Zi skinchennosti G viplivaye prirodnij izomorfizm KG KG i KGxG Ce vikoristovuyetsya dlya formuli kodobutku Dlya neskinchennih grup G KG KG ye vlasnoyu pidmnozhinoyu KGxG Hochschild G 1965 Structure of Lie groups Holden Day s 14 32 2003 Representations of algebraic groups Mathematical Surveys and Monographs t 107 vid 2nd Providence R I American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 3527 2 section 2 3 Michiel Hazewinkel Symmetric Functions Noncommutative Symmetric Functions and Quasisymmetric Functions Acta Applicandae Mathematica January 2003 Volume 75 Issue 1 3 pp 55 83 Hopf 1941 Group Hopf algebra Secret Blogging Seminar 9 lipnya 2011 u Wayback Machine Group objects and Hopf algebras 18 kvitnya 2016 u Wayback Machine video of Simon Willerton Div takozhKoalgebraLiteraturaDăscălescu Sorin Năstăsescu Constantin Raianu Șerban 2001 Hopf Algebras An introduction Pure and Applied Mathematics t 235 vid 1st Marcel Dekker ISBN 0 8247 0481 9 Zbl 0962 16026 Pierre Cartier A primer of Hopf algebras 9 serpnya 2017 u Wayback Machine IHES preprint September 2006 81 pages Fuchs Jurgen 1992 Affine Lie algebras and quantum groups An introduction with applications in conformal field theory Cambridge Monographs on Mathematical Physics Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 48412 X Zbl 0925 17031 H Hopf Uber die Topologie der Gruppen Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen Ann of Math 42 1941 22 52 Reprinted in Selecta Heinz Hopf pp 119 151 Springer Berlin 1964 MR4784 Zbl 0025 09303 Montgomery Susan 1993 Hopf algebras and their actions on rings Regional Conference Series in Mathematics t 82 Providence Rhode Island American Mathematical Society ISBN 0 8218 0738 2 Zbl 0793 16029 Street Ross 2007 Quantum groups Australian Mathematical Society Lecture Series t 19 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 69524 4 MR 2294803 Zbl 1117 16031 Sweedler Moss E 1969 Mathematics Lecture Note Series W A Benjamin Inc New York MR 0252485 Zbl 0194 32901 arhiv originalu za 28 chervnya 2014 procitovano 7 grudnya 2017 Underwood Robert G 2011 An introduction to Hopf algebras Berlin Springer Verlag ISBN 978 0 387 72765 3 Zbl 1234 16022