∪-добуток

${\displaystyle \smile }$-добуток (кап-добуток, cup product, добуток Колмогорова — Александера) — в алгебраїчній топології операція, що двом групам сингулярних когомологій порядків p і q ставить у відповідність групу порядку p + q. З цим добутком когомології на просторі X утворюють градуйоване кільце, що позначається H^∗(X).

Означення

Нехай X — топологічний простір і ${\displaystyle H^{n}(X)}$ — відповідні сингулярні когомології. Для стандартного симплекса ${\displaystyle \Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}}$ і для підмножини ${\displaystyle S\subset \{0,\ldots ,n\}}$ нехай ${\displaystyle \iota _{S}}$ позначає стандартне вкладення симплекса, що є опуклою комбінацією вершин ${\displaystyle e_{i},\;\;i\in S}$ у симплекс ${\displaystyle \Delta ^{n}.}$ ${\displaystyle e_{i}}$ в попередньому позначає точку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ де i-та координата рівна 1, а всі решта 0 (нумерація координат є від 0 до n).

Для початку добуток визначається для коланцюгів: якщо c^p — p-коланцюг і d^q — q-коланцюг, то значення їх ${\displaystyle \smile }$-добутку на базових сингулярних симплексах ${\displaystyle \sigma =\sigma (\Delta ^{n})}$ за означенням рівне:

${\displaystyle (c^{p}\smile d^{q})(\sigma )=c^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot d^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

Кограниця двох коланцюгів c^p і d^q відповідно рівна

${\displaystyle \delta (c^{p}\smile d^{q})=\delta {c^{p}}\smile d^{q}+(-1)^{p}(c^{p}\smile \delta {d^{q}}).}$

З цієї формули відразу випливає, що ${\displaystyle \smile }$-добуток двох коциклів теж є коциклом. Також ${\displaystyle \smile }$-добуток кограниці і коциклу в довільному порядку є кограницею. Дійсно, якщо наприклад dq є коциклом то з попередньої формули його добуток з кограницею ${\displaystyle \delta {c^{p}}}$ рівний ${\displaystyle \delta {c^{p}}\smile d^{q}=\delta (c^{p}\smile d^{q}),}$ тобто теж є кограницею.

Таким чином введений добуток індукує добуток на когомологічних групах

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

Властивості

${\displaystyle \smile }$-добуток задовольняє такі властивості з яких зокрема випливає, що ${\displaystyle H^{*}(X)}$ з операціями додавання і ${\displaystyle \smile }$-добутку є кільцем:

${\displaystyle \alpha \smile \beta =(-1)^{pq}\beta \smile \alpha }$ (градуйована комутативність).

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}\alpha \smile f^{*}\beta }$ для гладкого відображення ${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$

${\displaystyle \alpha \smile (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \smile \beta _{1}+\alpha \smile \beta _{2}}$ (дистрибутивність)

${\displaystyle \alpha \smile (\beta \smile \gamma )=(\alpha \smile \beta )\smile \gamma }$ (асоціативність).

Зв'язок з когомологіями де Рама

Для когомологій де Рама аналогом ${\displaystyle \smile }$-добутку є звичайний зовнішній добуток диференціальних форм, що задовольняє рівності:

${\displaystyle \mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{p}\omega \wedge \mathrm {d} \eta }$.

Згідно теореми де Рама класи когомологій де Рама і сингулярних когомологій є ізоморфними. Якщо позначати ${\displaystyle [\omega ]}$ — клас когомологій диференціальної форми, то при ідентифікації згідно теореми де Рама справедливим є твердження

${\displaystyle [\omega ]\smile [\eta ]=[\omega \wedge \eta ].}$

Див. також

• Когомологія де Рама
• Сингулярні гомології

Література

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) (hardcover) (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993)
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite]", Cambridge Publishing Company (2002)