В математиці Інваріант Казиміра або Оператор Казиміра - це значний елемент центру алгебри Лі. Прикладом є квадрат оператора кутового моменту, що є інваріантом Казиміра 3-вимірної групи обертань — SO(3).
Визначення
Нехай — -вимірна напівпроста алгебра Лі. Нехай — будь-який базис , а — дуальний базис, по відношенню до фіксованої інваріантної білінійної форми (наприклад, формі Кіллінга) на . Елемент Казиміра — це елемент , що визначається формулою
Попри те, що визначення елементу Казиміра відноситься до конкретного вибору базису в алгебрі Лі, легко показати, що отриманий елемент не залежить від цього вибору. Більше того, інваріантність білінійної форми, що була використана у визначенні, має на увазі, що елемент Казиміра комутує з усіма елементами алгебри , і, відповідно, лежить в центрі універсальної згортаючої алгебри
Будь-якому представленню алгебри у векторному просторі V, можливо нескінченновимірному, відповідає інваріант Казиміра , лінійний оператор у V, що задається формулою
Частинний випадок даної конструкції грає важливу роль в диференціальній геометрії і . Якщо зв'язана група Лі G з алгеброю Лі діють на диференційовному многовиді M, то елементи представляються диференціальними операторами першого порядку на M. Представлення діє у просторі гладких функцій на M. В такій ситуації інваріант Казиміра — це G-інваріантний диференціальний оператор другого порядку на M, що визначається з вищеприведеної формули.
Можуть бути визначені також загальніші інваріанти Казиміра. Зазвичай вони зустрічатьються при вивченні і теорії Фредгольма.
Властивості
Оператор Казиміра — це член алгебри всіх диференціальних операторів, що комутують з усіма генераторами в алгебрі Лі.
Число незалежних елементів центру універсальної згортаючої алгебри також є рангом у випадку напівпростої алгебри Лі. Оператор Казиміра дає поняття Лапласіана на загальних ; але такий шлях показує, що може існувати не єдиний аналог Лапласіана, для рангу >1.
За визначенням, будь-який член центру універсальної згортаючої алгебри комутує з усіма іншими елементами в алгебрі. Відповідно до леми Шура в довільному незвідному представленні алгебри Лі оператор Казимира є пропорційним до тотожності. Цей коефіцієнт пропорційності може бути використаний для класифікації представлень алгебри Лі (а, відповідно, також її групи Лі). Фізична маса і спін — приклади таких коефіцієнтів, як і багато інших квантових чисел, що використовуються в квантовій механіці. Зовнішньо, топологічні квантові числа являють собою винятки з цієї моделі, хоча більш глибокі теорії наводять на думку, що це дві грані одного явища.
Приклад: so(3)
Алгебра Лі відповідає SO(3), групі обертів 3-вимірного евклідового простору. Вона є напівпростою рангу 1 і тому має єдиний незалежний інваріант Казиміра. Форма Кіллінга для групи обертів — це лише символ Кронекера, а інваріант Казиміра — просто сума квадратів генераторів даної алгебри. Тобто, інваріант Казиміра задається формулою
В незвідному представленні, інваріантність оператора Казиміра припускає його кратність одиничному елементу e алгебри, так що
У квантовій механіці, скалярне значення відноситься до повного моменту кількості руху. Для скінченновимірних матричнозначних представлень групи обертань, завжди ціле (для ) або напівцілим (для ).
Для даного числа , матричне представлення -вимірне. Так, наприклад, 3-вимірне представлення so(3) відповідає , і задається генераторами
Тоді інваріант Казиміра:
оскільки при . Таким самим чином 2-вимірне представлення має базис, що задається матрицями Паулі, які відповідають спіну 1/2.
Власні значення
Враховуючи, що займає центральне місце в згортаючій алгебрі, вона діє скаляром на прості модулі. Нехай буде нашою білінійною симетричною невиродженою формою, за допомогою якої ми визначаємо . Нехай буде скінченновимірним модулем найбільшого значення, вагою . Тоді елемент Казиміра діє на на відміну від де визначається як півсума додатних коренів.
Джерела
- Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. — New York : Springer-Verlag, 1978. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici Invariant Kazimira abo Operator Kazimira ce znachnij element centru algebri Li Prikladom ye kvadrat operatora kutovogo momentu sho ye invariantom Kazimira 3 vimirnoyi grupi obertan SO 3 ViznachennyaNehaj g displaystyle mathfrak g n displaystyle n vimirna napivprosta algebra Li Nehaj X i i 1 n displaystyle X i i 1 n bud yakij bazis g displaystyle mathfrak g a X i i 1 n displaystyle X i i 1 n dualnij bazis po vidnoshennyu do fiksovanoyi invariantnoyi bilinijnoyi formi napriklad formi Killinga na g displaystyle mathfrak g Element Kazimira W displaystyle Omega ce element sho viznachayetsya formuloyu W i 1 n X i X i displaystyle Omega sum i 1 n X i X i Popri te sho viznachennya elementu Kazimira vidnositsya do konkretnogo viboru bazisu v algebri Li legko pokazati sho otrimanij element W displaystyle Omega ne zalezhit vid cogo viboru Bilshe togo invariantnist bilinijnoyi formi sho bula vikoristana u viznachenni maye na uvazi sho element Kazimira komutuye z usima elementami algebri g displaystyle mathfrak g i vidpovidno lezhit v centri universalnoyi zgortayuchoyi algebri U g displaystyle U mathfrak g Bud yakomu predstavlennyu r displaystyle rho algebri g displaystyle mathfrak g u vektornomu prostori V mozhlivo neskinchennovimirnomu vidpovidaye invariant Kazimira r W displaystyle rho Omega linijnij operator u V sho zadayetsya formuloyu r W i 1 n r X i r X i displaystyle rho Omega sum i 1 n rho X i rho X i Chastinnij vipadok danoyi konstrukciyi graye vazhlivu rol v diferencialnij geometriyi i Yaksho zv yazana grupa Li G z algebroyu Li g displaystyle mathfrak g diyut na diferencijovnomu mnogovidi M to elementi g displaystyle mathfrak g predstavlyayutsya diferencialnimi operatorami pershogo poryadku na M Predstavlennya r displaystyle rho diye u prostori gladkih funkcij na M V takij situaciyi invariant Kazimira ce G invariantnij diferencialnij operator drugogo poryadku na M sho viznachayetsya z visheprivedenoyi formuli Mozhut buti viznacheni takozh zagalnishi invarianti Kazimira Zazvichaj voni zustrichatyutsya pri vivchenni i teoriyi Fredgolma VlastivostiOperator Kazimira ce chlen algebri vsih diferencialnih operatoriv sho komutuyut z usima generatorami v algebri Li Chislo nezalezhnih elementiv centru universalnoyi zgortayuchoyi algebri takozh ye rangom u vipadku napivprostoyi algebri Li Operator Kazimira daye ponyattya Laplasiana na zagalnih ale takij shlyah pokazuye sho mozhe isnuvati ne yedinij analog Laplasiana dlya rangu gt 1 Za viznachennyam bud yakij chlen centru universalnoyi zgortayuchoyi algebri komutuye z usima inshimi elementami v algebri Vidpovidno do lemi Shura v dovilnomu nezvidnomu predstavlenni algebri Li operator Kazimira ye proporcijnim do totozhnosti Cej koeficiyent proporcijnosti mozhe buti vikoristanij dlya klasifikaciyi predstavlen algebri Li a vidpovidno takozh yiyi grupi Li Fizichna masa i spin prikladi takih koeficiyentiv yak i bagato inshih kvantovih chisel sho vikoristovuyutsya v kvantovij mehanici Zovnishno topologichni kvantovi chisla yavlyayut soboyu vinyatki z ciyeyi modeli hocha bilsh gliboki teoriyi navodyat na dumku sho ce dvi grani odnogo yavisha Priklad so 3 Algebra Li s o 3 displaystyle mathfrak so 3 vidpovidaye SO 3 grupi obertiv 3 vimirnogo evklidovogo prostoru Vona ye napivprostoyu rangu 1 i tomu maye yedinij nezalezhnij invariant Kazimira Forma Killinga dlya grupi obertiv ce lishe simvol Kronekera a invariant Kazimira prosto suma kvadrativ generatoriv L x L y L z displaystyle L x L y L z danoyi algebri Tobto invariant Kazimira zadayetsya formuloyu L 2 L x 2 L y 2 L z 2 displaystyle L 2 L x 2 L y 2 L z 2 V nezvidnomu predstavlenni invariantnist operatora Kazimira pripuskaye jogo kratnist odinichnomu elementu e algebri tak sho L 2 L x 2 L y 2 L z 2 ℓ ℓ 1 e displaystyle L 2 L x 2 L y 2 L z 2 ell ell 1 e U kvantovij mehanici skalyarne znachennya ℓ displaystyle ell vidnositsya do povnogo momentu kilkosti ruhu Dlya skinchennovimirnih matrichnoznachnih predstavlen grupi obertan ℓ displaystyle ell zavzhdi cile dlya abo napivcilim dlya Dlya danogo chisla ℓ displaystyle ell matrichne predstavlennya 2 ℓ 1 displaystyle 2 ell 1 vimirne Tak napriklad 3 vimirne predstavlennya so 3 vidpovidaye ℓ 1 displaystyle ell 1 i zadayetsya generatorami L x 0 0 0 0 0 1 0 1 0 L y 0 0 1 0 0 0 1 0 0 L z 0 1 0 1 0 0 0 0 0 displaystyle L x begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 0 end pmatrix L y begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 end pmatrix L z begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix Todi invariant Kazimira L 2 L x 2 L y 2 L z 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle L 2 L x 2 L y 2 L z 2 2 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix oskilki ℓ ℓ 1 2 displaystyle ell ell 1 2 pri ℓ 1 displaystyle ell 1 Takim samim chinom 2 vimirne predstavlennya maye bazis sho zadayetsya matricyami Pauli yaki vidpovidayut spinu 1 2 Vlasni znachennyaVrahovuyuchi sho W displaystyle Omega zajmaye centralne misce v zgortayuchij algebri vona diye skalyarom na prosti moduli Nehaj displaystyle langle rangle bude nashoyu bilinijnoyu simetrichnoyu nevirodzhenoyu formoyu za dopomogoyu yakoyi mi viznachayemo W displaystyle Omega Nehaj L l displaystyle L lambda bude skinchennovimirnim modulem najbilshogo znachennya vagoyu l displaystyle lambda Todi element Kazimira W displaystyle Omega diye na L l displaystyle L lambda na vidminu vid l l 2 r displaystyle langle lambda lambda 2 rho rangle de r displaystyle rho viznachayetsya yak pivsuma dodatnih koreniv DzherelaHumphreys James E Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Second printing revised Graduate Texts in Mathematics 9 New York Springer Verlag 1978 ISBN 5 9221 0055 6