Диференціальний оператор

Диференціальний оператор (взагалі кажучи, не неперервний, не обмежений і не лінійний) — оператор, визначений деяким диференціальним виразом і діючий в просторах (взагалі кажучи, векторнозначних) функцій (або перетинів диференційовних розшарувань) на диференційовних многовидах, або в просторах, спряжених до просторів цього типу.

Диференціальний вираз — це таке відображення ${\displaystyle \lambda }$ множини ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ у просторі перетинів розшарування ${\displaystyle \xi }$ з базою ${\displaystyle M}$ у простір перетинів розшарування ${\displaystyle \eta }$ з тією ж самою базою, що для будь-якої точки ${\displaystyle p\in M}$ і будь-яких перетинів ${\displaystyle f,\;g\in {\mathfrak {P}}}$ з збігів їх ${\displaystyle k}$-струй у точці ${\displaystyle p}$ слідує збіг ${\displaystyle \lambda f}$ і ${\displaystyle g}$ у тій же точці; найменше з чисел ${\displaystyle k}$, що задовольняють цій умові для всіх ${\displaystyle p\in M}$, називається порядком диференціального виразу і порядком диференціального оператора, визначеного цим виразом.

На многовиді ${\displaystyle M}$ без краю диференціальний оператор часто є розширенням оператора, природно обумовленого фіксованим диференціальним виразом на деякій (відкритій в підходящій топології) множині нескінченно (або досить багато разів) диференційовних перетинів даного векторного розшарування ${\displaystyle \xi }$ з базою ${\displaystyle M}$ і, таким чином, допускає природне узагальнення на випадок пучків ростків перетинів диференційовних розшарувань. На многовиді ${\displaystyle M}$ з краєм ${\displaystyle \partial M}$ диференціальний оператор ${\displaystyle L}$ часто визначається як розширення аналогічного оператора, природно певного диференціальним виразом на множині тих диференційовних функцій (або перетинів розшарування), обмеження яких на ${\displaystyle \partial M}$ лежать у ядрі деякого диференціального оператора ${\displaystyle l}$ на ${\displaystyle \partial M}$ (або задовольняє будь-яким іншим умовам, визначеним тими чи іншими вимогами до області значень оператора ${\displaystyle l}$ на обмеженнях функццій з області визначення оператора ${\displaystyle L}$, наприклад, нерівностями); диференціальний оператор ${\displaystyle l}$ називається таким, що визначає граничні умови для диференціального оператора ${\displaystyle L}$. Лінійні диференціальні оператори в просторах, спряжених до просторів функцій (або перетинів), визначаються як оператори, зв'язані до диференціальних операторів, зазначеного вище виду у цих просторах.