Оператор кутового моменту

Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.

"Векторні конуси" загального кутового моменту J (фіолетовий), орбіти L (синій) та спіна S(зелений). Конуси виникають через квантову невизначеність між вимірюванням компонентів кутового моменту (see below).

У цій стоячій хвилі на круговій струні коло розбивається рівно на 8 довжин хвилі. Така стояча хвиля може мати 0, 1, 2 або будь-яке ціле число довжин хвиль по колу, але вона не може мати неціле число довжин хвиль, таких як 8.3. У квантовій механіці кутовий момент квантується з подібної причини.

Ілюстрація векторної моделі орбітального кутового моменту.

Різні типи оператори обертання. У верхній рамці зображено дві частинки, зі спіновими станами, схематично позначеними стрілками.

1. Оператор R, пов'язаний з J, обертає всю систему.
2. Оператор R_{просторовий}, пов'язаний з L, обертає положення частинок, не змінюючи їх внутрішніх спінових станів.
3. Оператор R_{внутрішній}, пов'язаний з S, обертає внутрішні спінові стани частинок, не змінюючи їх положення.

Побудова і означення

Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу

${\displaystyle \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]}$,

де ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радіус вектор частки, а ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — її імпульс. При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$. Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$,

${\displaystyle {\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$,

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$.

Визначені таким чином оператори є ермітовими.

Комутаційні співвідношення

Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням

${\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}$,

${\displaystyle \left[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}$,

${\displaystyle \left[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}\right]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}$.

Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.

Власні функції та власні значення

З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента ${\displaystyle L_{z}}$, тож здебільшого шукають її власні функції.

Власними функціями компоненти ${\displaystyle L_{z}}$ є комплексні експоненти виду ${\displaystyle e^{im\varphi }}$ , де m — ціле число, яке пробігає значення від ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle \infty }$.

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}e^{im\varphi }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e^{im\varphi }=\hbar me^{im\varphi }}$.

Власні значення оператора ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ дорівнюють ${\displaystyle \hbar m}$. Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).

Оператор квадрата кутового моменту

Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}}$.

В сферичні системі координат він має вигляд

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}$.

Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.

Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту

Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ із ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.

Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки ${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$.

Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють ${\displaystyle \hbar ^{2}l(l+1)}$, де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y(\theta ,\varphi )}$.

Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.

Див. також

• Спін
• Матриці Паулі
• Сферичні гармоніки
• Оператор повного моменту

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.