Коротка точна послідовність

Точна послідовність — поняття в математиці, зокрема в теорії груп, та кілець, в гомологічній алгебрі, диференціальній геометрії.

Визначення

Точна послідовність — послідовність об'єктів та морфізмів між ними

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}}$

така що, образ одного морфізму рівний ядру наступного:

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

Коротка точна послідовність

Найбільш поширеною є коротка точна послідовність

${\displaystyle A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C}$

деƒ є мономорфізмом, а g є епіморфізмом. В цьому випадку, A є підоб'єктом B, і відповідна частка ізоморфна до C:

${\displaystyle C\cong B/f(A)}$

(де f(A) = im(f)).

Коротка точна послідовність абелевої групи може бути запичана як:

${\displaystyle 0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0}$

де 0 означає , такий як тривіальна група. Присутність 0 вимагає від ƒ бути мономорфізмом, а від g бути ефіморфізмом.

Якщо невідомо чи об'єкти є абелевими, тоді застосовується мультиплікативна нотація і використовується "1" замість "0". В цьому випадку запис виглядатиме:

${\displaystyle 1\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;1}$

Приклади

Розглянемо послідовність абелевих груп:

${\displaystyle \mathbb {Z} \;{\overset {2\cdot }{\hookrightarrow }}\;\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• Перша операція є множенням цілих чисел на 2. Стрілка ${\displaystyle \hookrightarrow }$ позначає, що це є мономорфізм.
• Друга операція визначає факторгрупу по модулю 2. Стрілка ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ позначає, що це є епіморфізм.

Це є точною послідовністю, бо образ 2Z мономорфізму є ядром епіморфізму. Також це може бути записано як:

${\displaystyle 2\mathbb {Z} \;{\hookrightarrow }\;\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \;{\xrightarrow {2\cdot }}\;\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to 0}$

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Exact sequence на PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Exact Sequence(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Short Exact Sequence(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.