В абстрактній алгебрі, — фундаментальна теорема про гомоморфізми або перша теорема про ізоморфізм, — пов'язує структуру двох об'єктів, між якими встановлений гомоморфізм, а також — ядро та образ гомоморфізму.
Теорема про гомоморфізму використовується при доведенні теорем про ізоморфізм.
Версія для теорії груп
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkxTDBScFlXZHlZVzFmYjJaZmRHaGxYMloxYm1SaGJXVnVkR0ZzWDNSb1pXOXlaVzFmYjI1ZmFHOXRiMjF2Y25Cb2FYTnRjeTV6ZG1jdk1qSXdjSGd0UkdsaFozSmhiVjl2Wmw5MGFHVmZablZ1WkdGdFpXNTBZV3hmZEdobGIzSmxiVjl2Ymw5b2IyMXZiVzl5Y0docGMyMXpMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Нехай задано дві групи і
та
— гомоморфізм між ними. Нехай
— нормальна підгрупа групи
і
— очевидний сур'єктивний гомоморфізм
, де
— фактор-група групи
за підгрупою
. Якщо
— підмножина
, то тоді існує єдиний гомоморфізм
, такий, що
.
Іншими словами, природна проєкція є універсальною серед інших гомоморфізмів групи
, що відображають
в нейтральний елемент.
Ця теорема описується наступною комутативною діаграмою:
Відображення є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли
. Тому, поклавши
, одразу отримуємо першу теорему про ізоморфізм.
Також твердження фундаментальної теореми про гомоморфізми груп можна записати як "будь-який гомоморфний образ групи ізоморфний фактор-групі".
Інші версії теореми
Схожі теореми мають місце для моноїдів, груп, кілець, модулів, векторних просторів та інших алгебраїчних структур.
Дивись також
Література
- Beachy, John A. (1999), "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, vol.47, Cambridge University Press, p.27, .
- Grove, Larry C. (2012), "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, .
- Jacobson, Nathan (2012), "Fundamental theorem on homomorphisms of
-algebras", Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Corporation, p.62, .
- Rose, John S. (1994), "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory [reprint of the 1978 original], Dover Publications, Inc., New York, pp.44--45, , MR 1298629.
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V abstraktnij algebri fundamentalna teorema pro gomomorfizmi abo persha teorema pro izomorfizm pov yazuye strukturu dvoh ob yektiv mizh yakimi vstanovlenij gomomorfizm a takozh yadro ta obraz gomomorfizmu Teorema pro gomomorfizmu vikoristovuyetsya pri dovedenni teorem pro izomorfizm Versiya dlya teoriyi grupDiagrama fundamentalnoyi teoremi pro gomomorfizmi de f displaystyle f gomomorfizm N displaystyle N normalna pidgrupa grupi G displaystyle G e displaystyle e odinichnij element grupi G displaystyle G Nehaj zadano dvi grupi G displaystyle G i H displaystyle H ta f G H displaystyle f colon G to H gomomorfizm mizh nimi Nehaj N displaystyle N normalna pidgrupa grupi G displaystyle G i f displaystyle varphi ochevidnij sur yektivnij gomomorfizm G G N displaystyle G to G backslash N de G N displaystyle G backslash N faktor grupa grupi G displaystyle G za pidgrupoyu N displaystyle N Yaksho N displaystyle N pidmnozhina ker f displaystyle operatorname ker f to todi isnuye yedinij gomomorfizm h G N H displaystyle h colon G backslash N to H takij sho f h f displaystyle f h circ varphi Inshimi slovami prirodna proyekciya f displaystyle varphi ye universalnoyu sered inshih gomomorfizmiv grupi G displaystyle G sho vidobrazhayut N displaystyle N v nejtralnij element Cya teorema opisuyetsya nastupnoyu komutativnoyu diagramoyu Vidobrazhennya h displaystyle h ye in yektivnim todi j lishe todi koli N ker f displaystyle N operatorname ker f Tomu poklavshi N ker f displaystyle N operatorname ker f odrazu otrimuyemo pershu teoremu pro izomorfizm Takozh tverdzhennya fundamentalnoyi teoremi pro gomomorfizmi grup mozhna zapisati yak bud yakij gomomorfnij obraz grupi izomorfnij faktor grupi Inshi versiyi teoremiShozhi teoremi mayut misce dlya monoyidiv grup kilec moduliv vektornih prostoriv ta inshih algebrayichnih struktur Divis takozhFaktor kategoriyaLiteraturaBeachy John A 1999 Theorem 1 2 7 The fundamental homomorphism theorem Introductory Lectures on Rings and Modules London Mathematical Society Student Texts vol 47 Cambridge University Press p 27 ISBN 9780521644075 Grove Larry C 2012 Theorem 1 11 The Fundamental Homomorphism Theorem Algebra Dover Books on Mathematics Courier Corporation p 11 ISBN 9780486142135 Jacobson Nathan 2012 Fundamental theorem on homomorphisms of W displaystyle Omega algebras Basic Algebra II Dover Books on Mathematics 2nd ed Courier Corporation p 62 ISBN 9780486135212 Rose John S 1994 3 24 Fundamental theorem on homomorphisms A course on Group Theory reprint of the 1978 original Dover Publications Inc New York pp 44 45 ISBN 0 486 68194 7 MR 1298629 Kurosh A G Obshaya algebra M Mir 1970 162 s ros