В теорії кілець, асоційованим простим ідеалом модуля M над кільцем R називається простий ідеал кільця R, що є анулятором деякого підмодуля M. Особливо важливими ці ідеали є у комутативній алгебрі де вони пов'язані з так званим примарним розкладом ідеалів нетерових кілець, що, зокрема, має застосування в алгебричній геометрії.
Означення
Комутативні кільця
Нехай — комутативне асоціативне кільце з одиницею, і — модуль над .
Простий ідеал називається асоційованим з , якщо існує такий елемент , що .
Еквівалентно, є асоційованим з , якщо існує ін'єктивний R-гомоморфізм між модулями і . Дійсно, якщо , то є як R-модуль є ізоморфним із Навпаки, якщо існує такий гомоморфізм f, то де позначає одиничний елемент у
Множина простих ідеалів, асоційованих з модулем позначається .
Мінімальні елементи в (щодо включення множин) у комутативному кільці R, називаються ізольованими простими ідеалами. Усі інші асоційовані прості ідеали називаються вкладеними простими ідеалами.
Модуль називається копримарним якщо з того що rm = 0 ( r є дільником нуля модуля ) для деякого ненульового випливає що rnM = 0 для деякого натурального числа n.
Ненульовий скінченнопороджений модуль M над комутативним нетеровим кільцем є копримарним тоді і тільки тоді коли для нього існує один асоційований простий ідеал.
- Дійсно, як показано нижче, у цьому випадку множина асоційованих простих ідеалів є непустою. Нехай є простим ідеалом. Тоді для кожного дільника нуля r виконується rnM = 0 і тому rnx = 0. Тобто і внаслідок простоти ідеалу, Тобто всі дільники нуля належать і внаслідок властивості нижче про те, що множина дільників нуля є об'єднанням елементів асоційованих простих ідеалів є єдиним таким ідеалом.
- Навпаки, якщо існує єдиний асоційований простий ідеал то з тої ж властивості випливає, що його елементами є всі дільники нуля і тільки вони. З властивості нижче випливає також, що що є еквівалентним твердженню.
Підмодуль N у M називається -примарним якщо є копримарним із асоційованим простим ідеалом .
Ідеал I є -примарним ідеалом тоді і тільки тоді коли.
Некомутативні кільця
Ненульовий R-модуль називається простим модулем якщо для довільного підмодуля модуля . Для простого модуля , є простим ідеалом в .
Ідеал кільця називається асоційованим простим ідеалом для R-модуля , якщо він рівний для деякого простого підмодуля у модулі .
Властивості
- Навіть для комутативних локальних кілець, множина асоційованих простих ідеалів скінченнопородженого модуля може бути пустою. Проте в будь-якому кільці, що задовольняє умову обриву зростаючого ланцюга ідеалів (зокрема правому чи лівому нетеровому кільці) довільний ненульовий модуль має хоча б один асоційований простий ідеал.
- Для одностороннього нетерового кільця, існує сюр'єкція з множини класів ізоморфізмів нерозкладних ін'єктивних модулів на спектр . Якщо R є кільцем Артіна, то це відображення є бієкцією.
- Теорема Матліма: Для комутативного нетерового кільця , відображення у попередньому пункті завжди є бієкцією.
- Для будь-якого простого ідеала комутативного кільця і будь-якого нетривіального підмодуля модуля має місце рівність .
- Нехай , тобто — суміжний клас за ідеалом , . Очевидно, що .
- Припустимо, що . Це означає, що . Тоді з простоти випливає, що . Таким чином, єдиний простий ідеал, асоційований з — це ідеал .
- Для нетерового модуля M над будь-яким кільцем, існує лише скінченна кількість асоційованих простих ідеалів для M.
Нетерові комутативні кільця
Всюди нижче кільце є комутативним і нетеровим:
- Розглянемо множину ідеалів , для яких для деякого для модуля над . Тоді максимальні елементи цієї множини є простими ідеалами. Оскільки для ненульового модуля ця множина не є пустою (довільний елемент має свій анулятор, що може бути і нульовим ідеалом) то звідти для кожного такого модуля існує асоційований простий ідеал.
- Припустимо, що такий ідеал є максимальним у цій множині але не простим. Тоді існують елементи , для яких але . Оскільки . Але . Тому, і . Тобто є строго більшим від , що суперечить максимальності останнього у заданій множині.
- Кожен ідеал J є рівний перетину скінченної кількості примарних ідеалів. Запис ідеала як перетину примарних ідеалів називається примарним розкладом ідеала. Множина радикалів цих ідеалів є рівною . Зокрема, ідеал J є примарним ідеалом тоді і тільки тоді, коли множина складається з одного елемента.
- Довільний мінімальний простий ідеал для ідеала J є елементом множини . Множина цих ідеалів є множиною ізольованих простих ідеалів.
- Множина рівна множині елементів (такі елементи називають дільниками нуля ).
- З означення очевидно, що кожен елемент довільного асоційованого простого ідеала, а тому і їх об'єднання є дільником нуля . Навпаки, якщо елементи для яких то . Але є підмножиною деякого максимального анулятора елемента модуля і цей ідеал є простим. Тобто належить деякому асоційованому простому ідеалу.
- Нехай S мультиплікативна система кільця і . Ідеал є асоційованим для модуля M над R, тоді і тільки тоді коли простий ідеал у локалізації кільця є асоційованим для модуля .
- Якщо то для деякого . Тоді .
- Навпаки припустимо для деяких . Нехай . Тоді , звідки випливає, що і оскільки кільце є нетеровим, а тому всі ідеали скінченнопородженими, то існує також такий що . Тоді .
- Якщо є скінченнопородженим модулем над , тоді існує скінченна послідовність підмодулів
- для якої усі фактор-модулі є ізоморфними фактор-кільцям для деяких простих ідеалів . До того ж для цих ідеалів справедливими є включення:
- де за означенням носій модуля . Окрім того мінімальні елементи в усіх трьох множинах є однаковими.
- Оскільки для ненульового модуля існує асоційований простий ідеал то у цьому випадку існує підмодуль ізоморфний . Далі якщо модуль не є нульовим то для нього можна використати ті самі аргументи і отримати модуль , такий що є ізоморфним для якогось простого ідеала (що буде простим асоційованим для модуля ). Продовжуючи по індукції отримуємо зростаючу послідовність модулів, що задовольняють умови теореми. Оскільки модуль є нетеровим то цей процес завершиться за скінченну кількість кроків. Це можливо лише коли останній підмодуль у послідовності рівний .
- Нехай тепер . Тоді тоді і тільки тоді коли для якогось локалізація , тобто якщо містить один із ідеалів . Звідси усі і мінімальні елементи обох множин є однаковими.
- Нехай тепер . Тоді модуль містить підмодуль ізоморфний до . Нехай i — найменший індекс для якого . Тоді можна розглядати як ненульовий підмодуль модулів і . Але із попередніх властивостей у цьому випадку і водночас Тому звідки .
- Якщо є мінімальним елементом , то відповідної локалізації містить єдиний елемент . Оскільки є непустою і міститься в то і з властивостей для асоційованих простих ідеалів для локалізації .
- Модуль над має скінченну довжину тоді і тільки тоді, коли є скінченнопородженим і елементами є лише максимальні ідеали.
- Якщо є підмодулем то .
- Для скінченнопородженого модуля
- Якщо то очевидно для кожного Отже звідси для кожного такого ідеалу і зважаючи на простоту також
- В іншу сторону, із попередніх властивостей існує скінченна послідовність підмодулів для якої усі фактор-модулі є ізоморфними До того ж множина мінімальних елементів у є рівною множині мінімальних елементів Тож якщо то також для всіх i і тому Зокрема
- Два попередні абзаци разом доводять, що Твердження для носія модуля випливає з того, що множина мінімальних елементів носія є рівною множині ізольованих простих іідеалів.
Приклади
- Якщо то асоційованими простими ідеалами для є ідеали і .
- Нехай кільце многочленів, — ідеал в , — афінний многовид заданий цим ідеалом, — незвідні компоненти . Покладемо — афінне координатне кільце , тоді прості ідеали, асоційовані з модулем це ідеали незвідних компонент .
- Якщо є кільцем цілих чисел, тоді нетривіальні вільні абелеві групи і нетривіальні абелеві групи порядок яких є степенем простого числа є копримарними.
- Якщо є кільцем цілих чисел і M — скінченною абелевою групою, тоді асоційованими простими ідеалами є ідеали породжені простими числами, що ділять порядок групи .
- Приклад не нетерового комутативного кільця і модуля, що не має асоційованих простих ідеалів. Нехай — кільце многочленів над полем комплексних чисел від нескінченної кількості змінних і ідеал . Тоді . Справді, припустимо простий ідеал є анулятором деякого елемента . Виберемо довільного представника цього елемента ; тоді є множиною тих для яких . Проте є многочленом лише від скінченної підмножини змінних , нехай . Очевидно що (тобто ), але (тому ). Звідси не є простим ідеалом.
Див. також
Джерела
- Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
- Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, .
- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
- Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, .
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kilec asocijovanim prostim idealom modulya M nad kilcem R nazivayetsya prostij ideal kilcya R sho ye anulyatorom deyakogo pidmodulya M Osoblivo vazhlivimi ci ideali ye u komutativnij algebri de voni pov yazani z tak zvanim primarnim rozkladom idealiv neterovih kilec sho zokrema maye zastosuvannya v algebrichnij geometriyi OznachennyaKomutativni kilcya Nehaj R displaystyle R komutativne asociativne kilce z odiniceyu i M displaystyle M modul nad R displaystyle R Prostij ideal p R displaystyle mathfrak p subset R nazivayetsya asocijovanim z M displaystyle M yaksho isnuye takij element x M displaystyle x in M sho p Ann R x r R r x 0 displaystyle mathfrak p textrm Ann R x r in R rx 0 Ekvivalentno p displaystyle mathfrak p ye asocijovanim z M displaystyle M yaksho isnuye in yektivnij R gomomorfizm mizh modulyami R p displaystyle R mathfrak p i M displaystyle M Dijsno yaksho p Ann R x displaystyle mathfrak p textrm Ann R x to R p displaystyle R mathfrak p ye yak R modul ye izomorfnim iz R x displaystyle Rx Navpaki yaksho isnuye takij gomomorfizm f to p Ann R f 1 displaystyle mathfrak p textrm Ann R f bar 1 de 1 displaystyle bar 1 poznachaye odinichnij element u R p displaystyle R mathfrak p Mnozhina prostih idealiv asocijovanih z modulem M displaystyle M poznachayetsya Ass R M displaystyle textrm Ass R M Minimalni elementi v Ass R M displaystyle operatorname Ass R M shodo vklyuchennya mnozhin u komutativnomu kilci R nazivayutsya izolovanimi prostimi idealami Usi inshi asocijovani prosti ideali nazivayutsya vkladenimi prostimi idealami Modul M displaystyle M nazivayetsya koprimarnim yaksho z togo sho rm 0 r ye dilnikom nulya modulya M displaystyle M dlya deyakogo nenulovogo m M displaystyle m in M viplivaye sho rnM 0 dlya deyakogo naturalnogo chisla n Nenulovij skinchennoporodzhenij modul M nad komutativnim neterovim kilcem ye koprimarnim todi i tilki todi koli dlya nogo isnuye odin asocijovanij prostij ideal Dijsno yak pokazano nizhche u comu vipadku mnozhina asocijovanih prostih idealiv ye nepustoyu Nehaj p Ann R x displaystyle mathfrak p textrm Ann R x ye prostim idealom Todi dlya kozhnogo dilnika nulya r vikonuyetsya rnM 0 i tomu rnx 0 Tobto r n p displaystyle r n in mathfrak p i vnaslidok prostoti idealu r p displaystyle r in mathfrak p Tobto vsi dilniki nulya nalezhat p displaystyle mathfrak p i vnaslidok vlastivosti nizhche pro te sho mnozhina dilnikiv nulya ye ob yednannyam elementiv asocijovanih prostih idealiv p displaystyle mathfrak p ye yedinim takim idealom Navpaki yaksho isnuye yedinij asocijovanij prostij ideal p displaystyle mathfrak p to z toyi zh vlastivosti viplivaye sho jogo elementami ye vsi dilniki nulya i tilki voni Z vlastivosti nizhche viplivaye takozh sho ann M p displaystyle sqrt operatorname ann M mathfrak p sho ye ekvivalentnim tverdzhennyu Pidmodul N u M nazivayetsya p displaystyle mathfrak p primarnim yaksho M N displaystyle M N ye koprimarnim iz asocijovanim prostim idealom p displaystyle mathfrak p Ideal I ye p displaystyle mathfrak p primarnim idealom todi i tilki todi koliAss R R I p displaystyle operatorname Ass R R I mathfrak p Nekomutativni kilcya Nenulovij R modul N displaystyle N nazivayetsya prostim modulem yaksho A n n R N A n n R N displaystyle mathrm Ann R N mathrm Ann R N dlya dovilnogo pidmodulya N displaystyle N modulya N displaystyle N Dlya prostogo modulya N displaystyle N A n n R N displaystyle mathrm Ann R N ye prostim idealom v R displaystyle R Ideal kilcya R displaystyle R nazivayetsya asocijovanim prostim idealom dlya R modulya M displaystyle M yaksho vin rivnij A n n R N displaystyle mathrm Ann R N dlya deyakogo prostogo pidmodulya N displaystyle N u moduli M displaystyle M VlastivostiNavit dlya komutativnih lokalnih kilec mnozhina asocijovanih prostih idealiv skinchennoporodzhenogo modulya mozhe buti pustoyu Prote v bud yakomu kilci sho zadovolnyaye umovu obrivu zrostayuchogo lancyuga idealiv zokrema pravomu chi livomu neterovomu kilci dovilnij nenulovij modul maye hocha b odin asocijovanij prostij ideal Dlya odnostoronnogo neterovogo kilcya isnuye syur yekciya z mnozhini klasiv izomorfizmiv nerozkladnih in yektivnih moduliv na spektr S p e c R displaystyle mathrm Spec R Yaksho R ye kilcem Artina to ce vidobrazhennya ye biyekciyeyu Teorema Matlima Dlya komutativnogo neterovogo kilcya R displaystyle R vidobrazhennya u poperednomu punkti zavzhdi ye biyekciyeyu Dlya bud yakogo prostogo ideala p displaystyle mathfrak p komutativnogo kilcya R displaystyle R i bud yakogo netrivialnogo pidmodulya M displaystyle M modulya R p displaystyle R mathfrak p maye misce rivnist Ass R M p displaystyle textrm Ass R M mathfrak p Nehaj 0 x M displaystyle 0 neq overline x in M tobto x x p displaystyle overline x x mathfrak p sumizhnij klas za idealom p displaystyle mathfrak p x p displaystyle x not in mathfrak p Ochevidno sho p x 0 displaystyle mathfrak p overline x 0 Pripustimo sho r x 0 displaystyle r overline x 0 Ce oznachaye sho r x p displaystyle rx in mathfrak p Todi z prostoti p displaystyle mathfrak p viplivaye sho r p displaystyle r in mathfrak p Takim chinom yedinij prostij ideal asocijovanij z M displaystyle M ce ideal p displaystyle mathfrak p dd Dlya neterovogo modulya M nad bud yakim kilcem isnuye lishe skinchenna kilkist asocijovanih prostih idealiv dlya M Neterovi komutativni kilcya Vsyudi nizhche kilce R displaystyle R ye komutativnim i neterovim Rozglyanemo mnozhinu idealiv I R displaystyle I subset R dlya yakih I Ann R x displaystyle I textrm Ann R x dlya deyakogo x M displaystyle x in M dlya modulya M displaystyle M nad R displaystyle R Todi maksimalni elementi ciyeyi mnozhini ye prostimi idealami Oskilki dlya nenulovogo modulya cya mnozhina ne ye pustoyu dovilnij element maye svij anulyator sho mozhe buti i nulovim idealom to zvidti dlya kozhnogo takogo modulya isnuye asocijovanij prostij ideal Pripustimo sho takij ideal I Ann R x displaystyle I textrm Ann R x ye maksimalnim u cij mnozhini ale ne prostim Todi isnuyut elementi a b R displaystyle a b in R dlya yakih a b I displaystyle ab in I ale a b I displaystyle a b not in I Oskilki b I b x 0 displaystyle b not in I bx neq 0 Ale a b x 0 displaystyle abx 0 Tomu a Ann R b x displaystyle a in textrm Ann R bx i a I displaystyle a not in I Tobto Ann R b x displaystyle textrm Ann R bx ye strogo bilshim vid I displaystyle I sho superechit maksimalnosti ostannogo u zadanij mnozhini dd Kozhen ideal J ye rivnij peretinu skinchennoyi kilkosti primarnih idealiv Zapis ideala yak peretinu primarnih idealiv nazivayetsya primarnim rozkladom ideala Mnozhina radikaliv cih idealiv ye rivnoyu A s s R R J displaystyle mathrm Ass R R J Zokrema ideal J ye primarnim idealom todi i tilki todi koli mnozhina A s s R R J displaystyle mathrm Ass R R J skladayetsya z odnogo elementa Dovilnij minimalnij prostij ideal dlya ideala J ye elementom mnozhini A s s R R J displaystyle mathrm Ass R R J Mnozhina cih idealiv ye mnozhinoyu izolovanih prostih idealiv Mnozhina p A s s M p displaystyle bigcup mathfrak p in mathrm Ass M mathfrak p rivna mnozhini elementiv r R 0 m M r m 0 displaystyle r in R exists 0 neq m in M rm 0 taki elementi nazivayut dilnikami nulya M displaystyle M Z oznachennya ochevidno sho kozhen element dovilnogo asocijovanogo prostogo ideala a tomu i yih ob yednannya ye dilnikom nulya M displaystyle M Navpaki yaksho r R m M displaystyle r in R m in M elementi dlya yakih r m 0 displaystyle rm 0 to r Ann m displaystyle r subset textrm Ann m Ale Ann m displaystyle textrm Ann m ye pidmnozhinoyu deyakogo maksimalnogo anulyatora elementa modulya i cej ideal ye prostim Tobto r displaystyle r nalezhit deyakomu asocijovanomu prostomu idealu dd Nehaj S multiplikativna sistema kilcya R displaystyle R i p Spec R p S displaystyle mathfrak p in operatorname Spec R mathfrak p cap S emptyset Ideal p displaystyle mathfrak p ye asocijovanim dlya modulya M nad R todi i tilki todi koli prostij ideal S 1 p displaystyle S 1 mathfrak p u lokalizaciyi kilcya S 1 R displaystyle S 1 R ye asocijovanim dlya modulya S 1 M displaystyle S 1 M Yaksho p Ass R M displaystyle mathfrak p in textrm Ass R M to p Ann R x displaystyle mathfrak p textrm Ann R x dlya deyakogo x M displaystyle x in M Todi S 1 p Ann S 1 R x 1 displaystyle S 1 mathfrak p textrm Ann S 1 R x 1 Navpaki pripustimo S 1 p Ann S 1 R x s displaystyle S 1 mathfrak p textrm Ann S 1 R x s dlya deyakih x M s S displaystyle x in M s in S Nehaj a Ann R x displaystyle mathfrak a textrm Ann R x Todi S 1 a S 1 p displaystyle S 1 mathfrak a S 1 mathfrak p zvidki viplivaye sho a p displaystyle mathfrak a subset mathfrak p i oskilki kilce ye neterovim a tomu vsi ideali skinchennoporodzhenimi to isnuye takozh s S displaystyle s in S takij sho s p a displaystyle s mathfrak p subset mathfrak a Todi p Ann R s x displaystyle mathfrak p textrm Ann R s x Yaksho M displaystyle M ye skinchennoporodzhenim modulem nad R displaystyle R todi isnuye skinchenna poslidovnist pidmoduliv 0 M 0 M 1 M n 1 M n M displaystyle 0 M 0 subset M 1 subset cdots subset M n 1 subset M n M dd dlya yakoyi usi faktor moduli M i 1 M i displaystyle M i 1 M i ye izomorfnimi faktor kilcyam R p i displaystyle R mathfrak p i dlya deyakih prostih idealiv p i displaystyle mathfrak p i Do togo zh dlya cih idealiv spravedlivimi ye vklyuchennya A s s M p 0 p n 1 S u p p M displaystyle mathrm Ass M subset mathfrak p 0 dotsc mathfrak p n 1 subset mathrm Supp M de za oznachennyam nosij modulya S u p p M p Spec R M p 0 displaystyle mathrm Supp M mathfrak p in operatorname Spec R M mathfrak p neq 0 Okrim togo minimalni elementi v usih troh mnozhinah ye odnakovimi Oskilki dlya nenulovogo modulya isnuye asocijovanij prostij ideal p 0 displaystyle mathfrak p 0 to u comu vipadku isnuye pidmodul M 1 M displaystyle M 1 subset M izomorfnij R p 0 displaystyle R mathfrak p 0 Dali yaksho modul M M 1 displaystyle M M 1 ne ye nulovim to dlya nogo mozhna vikoristati ti sami argumenti i otrimati modul M 1 M 2 M displaystyle M 1 subset M 2 subset M takij sho M 2 M 1 displaystyle M 2 M 1 ye izomorfnim R p 1 displaystyle R mathfrak p 1 dlya yakogos prostogo ideala p 1 displaystyle mathfrak p 1 sho bude prostim asocijovanim dlya modulya M M 1 displaystyle M M 1 Prodovzhuyuchi po indukciyi otrimuyemo zrostayuchu poslidovnist moduliv sho zadovolnyayut umovi teoremi Oskilki modul ye neterovim to cej proces zavershitsya za skinchennu kilkist krokiv Ce mozhlivo lishe koli ostannij pidmodul u poslidovnosti rivnij M displaystyle M Nehaj teper p Spec R displaystyle mathfrak p in operatorname Spec R Todi M p 0 displaystyle M mathfrak p neq 0 todi i tilki todi koli dlya yakogos p i displaystyle mathfrak p i lokalizaciya R p i p 0 displaystyle R mathfrak p i mathfrak p neq 0 tobto yaksho p displaystyle mathfrak p mistit odin iz idealiv p i displaystyle mathfrak p i Zvidsi usi p i S u p p M displaystyle mathfrak p i in mathrm Supp M i minimalni elementi oboh mnozhin ye odnakovimi Nehaj teper p A s s M displaystyle mathfrak p in mathrm Ass M Todi modul M displaystyle M mistit pidmodul N displaystyle N izomorfnij do R p displaystyle R mathfrak p Nehaj i najmenshij indeks dlya yakogo M i 1 N displaystyle M i 1 cap N neq emptyset Todi M i 1 N M i displaystyle M i 1 cap N M i mozhna rozglyadati yak nenulovij pidmodul moduliv M i 1 M i R p i displaystyle M i 1 M i cong R mathfrak p i i N R p displaystyle N cong R mathfrak p Ale iz poperednih vlastivostej u comu vipadku Ass R M i 1 N M i p i displaystyle textrm Ass R M i 1 cap N M i mathfrak p i i vodnochas Ass R M i 1 N M i p displaystyle textrm Ass R M i 1 cap N M i mathfrak p Tomu p p i displaystyle mathfrak p mathfrak p i zvidki A s s M p 0 p n 1 displaystyle mathrm Ass M subset mathfrak p 0 dotsc mathfrak p n 1 Yaksho p displaystyle mathfrak p ye minimalnim elementom S u p p M displaystyle mathrm Supp M to S u p p M p displaystyle mathrm Supp M mathfrak p vidpovidnoyi lokalizaciyi mistit yedinij element p R p displaystyle mathfrak p R mathfrak p Oskilki A s s M p displaystyle mathrm Ass M mathfrak p ye nepustoyu i mistitsya v S u p p M p displaystyle mathrm Supp M mathfrak p to p R p A s s M p displaystyle mathfrak p R mathfrak p in mathrm Ass M mathfrak p i z vlastivostej dlya asocijovanih prostih idealiv dlya lokalizaciyi p A s s M displaystyle mathfrak p in mathrm Ass M dd Modul M displaystyle M nad R displaystyle R maye skinchennu dovzhinu todi i tilki todi koli M displaystyle M ye skinchennoporodzhenim i elementami A s s M displaystyle mathrm Ass M ye lishe maksimalni ideali Yaksho U displaystyle U ye pidmodulem M displaystyle M to A s s U A s s M A s s U A s s M U displaystyle mathrm Ass U subset mathrm Ass M subset mathrm Ass U cup mathrm Ass M U Dlya skinchennoporodzhenogo modulya M displaystyle M ann M p A s s M p p S u p p M p displaystyle sqrt operatorname ann M bigcap mathfrak p in mathrm Ass M mathfrak p bigcap mathfrak p in mathrm Supp M mathfrak p dd Yaksho r ann M displaystyle r in operatorname ann M to ochevidno r p displaystyle r in mathfrak p dlya kozhnogo p A s s M displaystyle mathfrak p in mathrm Ass M Otzhe zvidsi dlya kozhnogo takogo idealu ann M p displaystyle operatorname ann M subset mathfrak p i zvazhayuchi na prostotu takozh ann M p displaystyle sqrt operatorname ann M subset mathfrak p V inshu storonu iz poperednih vlastivostej isnuye skinchenna poslidovnist pidmoduliv 0 M 0 M 1 M n 1 M n M displaystyle 0 M 0 subset M 1 subset cdots subset M n 1 subset M n M dlya yakoyi usi faktor moduli M i 1 M i displaystyle M i 1 M i ye izomorfnimi R p i displaystyle R mathfrak p i Do togo zh mnozhina minimalnih elementiv u p i displaystyle mathfrak p i ye rivnoyu mnozhini minimalnih elementiv A s s M displaystyle mathrm Ass M Tozh yaksho r p A s s M p displaystyle r in bigcap mathfrak p in mathrm Ass M mathfrak p to takozh r p i displaystyle r in mathfrak p i dlya vsih i i tomu r M i M i 1 displaystyle rM i subset M i 1 Zokrema r n M 0 displaystyle r n M 0 Dva poperedni abzaci razom dovodyat sho ann M p A s s M p displaystyle sqrt operatorname ann M bigcap mathfrak p in mathrm Ass M mathfrak p Tverdzhennya dlya nosiya modulya viplivaye z togo sho mnozhina minimalnih elementiv nosiya ye rivnoyu mnozhini izolovanih prostih iidealiv PrikladiYaksho R C x y z w displaystyle R mathbb C x y z w to asocijovanimi prostimi idealami dlya I x 2 y 2 z 2 w 2 z 3 w 3 3 x 3 displaystyle I x 2 y 2 z 2 w 2 cdot z 3 w 3 3x 3 ye ideali x 2 y 2 z 2 w 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 w 2 i z 3 w 3 3 x 3 displaystyle z 3 w 3 3x 3 Nehaj R C X 1 X n displaystyle R mathbb C X 1 ldots X n kilce mnogochleniv p displaystyle mathfrak p ideal v R displaystyle R V displaystyle V afinnij mnogovid zadanij cim idealom V 1 V p displaystyle V 1 ldots V p nezvidni komponenti V displaystyle V Poklademo M R p displaystyle M R mathfrak p afinne koordinatne kilce V displaystyle V todi prosti ideali asocijovani z modulem M displaystyle M ce ideali nezvidnih komponent V 1 V p displaystyle V 1 ldots V p Yaksho R displaystyle R ye kilcem cilih chisel todi netrivialni vilni abelevi grupi i netrivialni abelevi grupi poryadok yakih ye stepenem prostogo chisla ye koprimarnimi Yaksho R displaystyle R ye kilcem cilih chisel i M skinchennoyu abelevoyu grupoyu todi asocijovanimi prostimi idealami M displaystyle M ye ideali porodzheni prostimi chislami sho dilyat poryadok grupi M displaystyle M Priklad ne neterovogo komutativnogo kilcya i modulya sho ne maye asocijovanih prostih idealiv Nehaj R C x 1 x 2 displaystyle R mathbb C x 1 x 2 kilce mnogochleniv nad polem kompleksnih chisel vid neskinchennoyi kilkosti zminnih i ideal I x 1 x 2 2 x 3 3 R displaystyle I x 1 x 2 2 x 3 3 subset R Todi A s s R I displaystyle mathrm Ass R I emptyset Spravdi pripustimo prostij ideal p displaystyle mathfrak p ye anulyatorom deyakogo elementa f R I displaystyle bar f in R I Viberemo dovilnogo predstavnika cogo elementa f R displaystyle f in R todi p displaystyle mathfrak p ye mnozhinoyu tih g R displaystyle g in R dlya yakih f g I displaystyle fg in I Prote f displaystyle f ye mnogochlenom lishe vid skinchennoyi pidmnozhini zminnih x i displaystyle x i nehaj x 1 x n displaystyle x 1 x n Ochevidno sho x n 1 n 1 f I displaystyle x n 1 n 1 f in I tobto x n 1 n 1 p displaystyle x n 1 n 1 in mathfrak p ale x n 1 f I displaystyle x n 1 f not in I tomu x n 1 p displaystyle x n 1 not in mathfrak p Zvidsi p displaystyle mathfrak p ne ye prostim idealom Div takozhMinimalnij prostij ideal Modul nad kilcem Nosij modulya Primarnij ideal Primarnij rozkladDzherelaAtya M Vvedenie v kommutativnuyu algebru Moskva Mir 1972 160 s ros Atiyah Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 2010 0361 9 Eisenbud David 1995 Commutative algebra Graduate Texts in Mathematics t 150 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 94268 1 MR 1322960 Lam Tsit Yuen 1999 Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 98428 5 MR 1653294 Jean Pierre Serre Local algebra Springer Verlag 2000 ISBN 3 540 66641 9 PrimitkiLam 1999 s 85 Cohn P M 2003 Springer Exercise 10 9 7 p 391 ISBN 9780857294289 arhiv originalu za 15 kvitnya 2016 procitovano 21 listopada 2017