В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебрично замкнуте поле і
— n-вимірний афінний простір над
. Многочлени
можна розглядати як функції з
, зі значеннями в
. Для кожного
можна визначити підмножину
, в якій значення всіх поліномів з множини
рівне нулю:
Підмножина , множини
називається афінною алгебричною множиною, якщо
для деякої
. Непорожня афінна (алгебрична множина) називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай
— ідеал многочленів, значення яких на множині
рівні нулю.
Для будь-якої алгебричної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.
Проєктивні многовиди
Нехай — n-вимірний проєктивний простір над полем
. Однорідний многочлен
, можна розглядати як функцію
, зі значеннями в
. Для будь-якого
аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини
називається проєктивною алгебричною множиною, якщо
для деякої
. Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай
— ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині
рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини
фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебрична множина
є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли
є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
Література
- Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. .
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. .
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V algebrichnij geometriyi algebrichnij mnogovid mnozhina tochok koordinati yakih zadovolnyayut deyakij sistemi polinomialnih rivnyan ViznachennyaRozglyadayutsya chotiri vidi algebrichnih mnogovidiv afinni mnogovidi kvazi afinni mnogovidi proyektivni mnogovidi i kvazi proyektivni mnogovidi Afinni mnogovidi Nehaj K displaystyle K ye algebrichno zamknute pole i An displaystyle mathbf A n n vimirnij afinnij prostir nad K displaystyle K Mnogochleni F K x1 xn displaystyle F in K x 1 x n mozhna rozglyadati yak funkciyi z An displaystyle mathbf A n zi znachennyami v K displaystyle K Dlya kozhnogo S k x1 xn displaystyle S subset k x 1 x n mozhna viznachiti pidmnozhinu An displaystyle mathbf A n v yakij znachennya vsih polinomiv z mnozhini S displaystyle S rivne nulyu Z S x An f x 0 f S displaystyle Z S x in mathbf A n f x 0 quad forall f in S Pidmnozhina V displaystyle V mnozhini An displaystyle mathbf A n nazivayetsya afinnoyu algebrichnoyu mnozhinoyu yaksho V Z S displaystyle V Z S dlya deyakoyi S displaystyle S Neporozhnya afinna algebrichna mnozhina nazivayetsya nezvidnoyu yaksho vona ne mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi dvoh algebrichnih pidmnozhin Nezvidni afinni algebrichni mnozhini nazivayutsya afinnimi algebrichnimi mnogovidami abo prosto afinnimi mnogovidami Dlya afinnogo mnogovidu mozhna zadati prirodnu topologiyu zamknutimi mnozhinami yakoyi ye vsi algebrichni mnozhini Dana topologiya nazivayetsya topologiyeyu Zariskogo Dlya V An displaystyle V subset mathbf A n nehaj I V displaystyle I V ideal mnogochleniv znachennya yakih na mnozhini V displaystyle V rivni nulyu I V f k x1 xn f x 0 x V displaystyle I V f in k x 1 x n f x 0 quad forall x in V Dlya bud yakoyi algebrichnoyi mnozhini V displaystyle V koordinatnim kilcem abo strukturnim kilcem nazivayetsya faktor kilce mnogochleniv po comu idealu Proyektivni mnogovidi Nehaj Pn displaystyle mathbf P n n vimirnij proyektivnij prostir nad polem K displaystyle K Odnoridnij mnogochlen K x0 xn displaystyle K x 0 x n mozhna rozglyadati yak funkciyu Pn displaystyle mathbf P n zi znachennyami v K displaystyle K Dlya bud yakogo S Pn displaystyle S subset mathbf P n analogichno yak u afinnomu vipadku viznachayemo Z S x Pn f x 0 f S displaystyle Z S x in mathbf P n f x 0 quad forall f in S Pidmnozhina V displaystyle V mnozhini Pn displaystyle mathbf P n nazivayetsya proyektivnoyu algebrichnoyu mnozhinoyu yaksho V Z S displaystyle V Z S dlya deyakoyi S displaystyle S Neporozhnya proyektivna algebrichna mnozhina nazivayetsya nezvidnoyu yaksho vona ne mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi dvoh algebrichnih pidmnozhin Nezvidni proyektivni algebrichni mnozhini nazivayutsya proyektivnimi algebrichnimi mnogovidami abo prosto proyektivnimi mnogovidami Yak i u afinnomu vipadku mozhna prirodnim chinom zadati topologiyu Zariskogo Dlya V Pn displaystyle V subset mathbf P n Nehaj I V displaystyle I V ideal porodzhenij usima odnoridnimi mnogochlenami znachennya yakih na mnozhini V displaystyle V rivne nulyu Dlya bud yakoyi proyektivnoyi algebrichnoyi mnozhini V displaystyle V faktor kilce po comu idealu nazivayetsya koordinatnim kilcem Osnovni vlastivostiAfinna algebrichna mnozhina V displaystyle V ye algebrichnim mnogovidom todi i tilki todi koli I V displaystyle I V ye prostim idealom Dovilna neporozhnya afinna algebrichna mnozhina mozhe buti yavno predstavlena u viglyadi sumi algebrichnih mnogovidiv Div takozhShema matematika Teorema Gilberta pro nuliPosilannyaYu Drozd Algebrichna geometriya i yiyi zastosuvannya Kurs lekcij 22 travnya 2011 u Wayback Machine LiteraturaAtya M Vvedenie v kommutativnuyu algebru Moskva Mir 1972 160 s ros Hartshorn R Algebraicheskaya geometriya M Mir 1981 David Cox John Little Don O Shea 1997 Ideals Varieties and Algorithms second edition Springer Verlag ISBN 0 387 94680 2 David Eisenbud 1999 Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry Springer Verlag ISBN 0 387 94269 6 David Dummit Richard Foote 2003 Abstract Algebra third edition Wiley ISBN 0 471 43334 9