Носій модуля

У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ A для яких ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$. Ця множина позначається ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$. Згідно з означенням носій є підмножиною спектру кільця A.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle M}$ є модулем над кільцем ${\displaystyle A}$ породженим єдиним елементом ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle I=\operatorname {Ann} (x)}$, то ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=V(I)}$, тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал ${\displaystyle I.}$

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал у кільці ${\displaystyle A}$. Тоді, згідно з означенням (локалізації модуля) елемент ${\displaystyle x/1=0}$ у ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ тоді і тільки тоді, коли існує елемент ${\displaystyle s\in A\setminus {\mathfrak {p}}}$, такий що ${\displaystyle sx=0}$, тобто якщо ${\displaystyle (A\setminus {\mathfrak {p}})\cap \operatorname {Ann} (x)\neq \emptyset .}$ Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ був ненульовим), необхідно і достатньо щоб ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ містив ідеал ${\displaystyle \operatorname {Ann} (x)=I}$, що і треба було довести.

• ${\displaystyle M=0}$ якщо і тільки якщо його носій є пустою множиною.

Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент ${\displaystyle x\in M}$, то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить ${\displaystyle \operatorname {Ann} (x)}$ належить ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$.

• Якщо ${\displaystyle M}$ є сумою підмодулів ${\displaystyle M_{\lambda }}$, тоді ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\cup _{\lambda }\operatorname {supp} (M_{\lambda }).}$

Оскільки для всіх ${\displaystyle M_{\lambda }}$ справедливим є включення ${\displaystyle (M_{\lambda })_{\mathfrak {p}}\subset M_{\mathfrak {p}}}$ то ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)\supset \cup _{\lambda }\operatorname {supp} (M_{\lambda }).}$

Навпаки, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)}$, то існує ${\displaystyle x\in M}$ для якого ${\displaystyle \operatorname {Ann} (x)}$ не є підмножиною ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Але цей елемент належить деякому ${\displaystyle M_{\lambda }}$ і тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M_{\lambda })}$.

• Простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є елементом носія скінченнопородженого модуля ${\displaystyle M}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (M)}$. Зокрема носій модуля є замкнутою множиною у топології Зариського на Spec(A).

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ належить носію модуля, то існує такий елемент ${\displaystyle x\in M}$, що ${\displaystyle sx\neq 0}$ для всіх ${\displaystyle s\in A\setminus {\mathfrak {p}}}$ Але тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (x)}$ і необхідний результат отримується з того, що ${\displaystyle \operatorname {Ann} (x)\supset \operatorname {Ann} (M)}$.

Навпаки, якщо ${\displaystyle m_{1},\ldots m_{n}}$ — породжуюча множина модуля, то ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)=\bigcap _{i=1}^{n}\operatorname {Ann} (m_{i})}$ і якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (M)}$ то також ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (m_{i})}$ для деякого ${\displaystyle m_{i}}$ і тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ належить носію модуля.

• Якщо ${\displaystyle M}$ є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}$ є множиною всіх простих ідеалів, що містять ${\displaystyle I+\operatorname {Ann} (M).}$ Ця множина є рівною ${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)}$.
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)}$ то ${\displaystyle V({\mathfrak {p}})\subset \operatorname {Supp} (M).}$

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$ — прості ідеали, то з властивостей локалізації ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(M_{\mathfrak {q}})_{\mathfrak {p}}}$, тож якщо ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$, то також ${\displaystyle M_{\mathfrak {q}}\neq 0}$ і тому ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ теж є елементом носія модуля.

• Нехай ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ — точна послідовність A-модулів. Тоді

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').}$ Це об'єднання може не бути диз'юнктивним.

Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність ${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {p}}\to M_{\mathfrak {p}}\to M''_{\mathfrak {p}}\to 0}$ теж буде точною. З означень точної послідовності тоді ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як ${\displaystyle M'_{\mathfrak {p}}}$, так і ${\displaystyle M''_{\mathfrak {p}}}$. Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ належатиме ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$ тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M')}$ і ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M'')}$.

• Якщо ${\displaystyle M,N}$ є скінченнопородженими A-модулями, то

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).}$

Для довільного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\;\;}$ ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)_{\mathfrak {p}}\cong M_{\mathfrak {p}}\otimes _{A_{\mathfrak {p}}}N_{\mathfrak {p}}}$. Оскільки ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ — локалне кільце, то звідси ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)_{\mathfrak {p}}\neq 0}$, тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$ і ${\displaystyle N_{\mathfrak {p}}\neq 0}$, що доводить твердження.

• Нехай ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем ${\displaystyle A}$. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {p}}'}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ — деякий асоційований простий ідеал модуля ${\displaystyle M}$.

Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.

При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ не належить носію модуля.

Носій квазікогерентного пучка

Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок x∈X для яких локальні кільця F_x є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміну "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.

Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо ${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}}$ є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів M_α над кожним A_α.

Приклади

• Для скінченної комутативної групи ${\displaystyle M}$, що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел, ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$ складається з усіх простих ідеалів ${\displaystyle (p)}$, де просте число ${\displaystyle p}$ ділить порядок групи ${\displaystyle M}$.
• У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)\subset V(\operatorname {Ann} (M))}$. Наприклад ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle M=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Тоді ${\displaystyle \mathrm {Ann} (M)=0}$, але ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} =0}$. Тому нульовий ідеал належить ${\displaystyle V(\mathrm {Ann} (M))}$ але не носію модуля ${\displaystyle M}$. Носієм є множина максимальних ідеалів кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Примітки

1. EGA 0_I, 1.7.1.
2. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4.
3. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01AS.

Див. також

• Асоційований простий ідеал

Література

• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Reid, Miles (1996). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press. ISBN .