Лема Гауса про незвідні многочлени

Лема Гауса — твердження про властивості многочленів над факторіальними кільцями, що вперше було доведено для многочленів над кільцем цілих чисел. Має багато застосувань у теорії кілець та полів, зокрема при доведенні факторіальності кільця многочленів над факторіальним кільцем і теореми Люрота.

Твердження

Нехай ${\displaystyle R}$ — факторіальне кільце. Тоді справедливими є такі два твердження:

• Для довільних ${\displaystyle a\in R,\;\;\;f,g\in R[x]}$ якщо ${\displaystyle a}$ ділить всі коефіцієнти добутку ${\displaystyle f(x)g(x),}$ то ${\displaystyle a}$ також ділить всі коефіцієнти або многочлена ${\displaystyle f(x)}$ або многочлена ${\displaystyle g(x).}$ Зокрема якщо ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — примітивні многочлени (многочлен називається примітивним, якщо найбільший спільний дільник його коефіцієнтів є оборотним елементом), то і многочлен ${\displaystyle f(x)g(x)}$ є примітивним;
• Якщо ${\displaystyle Q}$ — поле часток кільця ${\displaystyle R}$ то довільний многочлен не рівний константі є незвідним у кільці ${\displaystyle Q[x]}$ тоді і тільки тоді коли він є незвідним у кільці ${\displaystyle R[x].}$

Твердження про добуток примітивних многочленів і про незвідні многочлени будуть справедливими і якщо розглядати замість факторіальних кілець більш загальні області в яких два довільних елементи мають найбільший спільний дільник.

Доведення (для факторіальних кілець)

Покажемо, що якщо елемент ${\displaystyle p}$ кільця ${\displaystyle R}$ є спільним дільником коефіцієнтів многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)}$, то він є спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена ${\displaystyle f(x)}$ або спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена ${\displaystyle g(x)}$.

Нехай ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$, ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}}$, ${\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g}$ — степені цих многочленів.

Припустимо, що ${\displaystyle p}$ не ділить всі коефіцієнти ні многочлена ${\displaystyle f(x)}$ ні многочлена ${\displaystyle g(x).}$ Тоді існують найменші ${\displaystyle i,j}$ для яких ${\displaystyle p\nmid a_{i}}$ і ${\displaystyle p\nmid b_{j}.}$

Коефіцієнт біля одночлена степеня ${\displaystyle i+j}$ многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)}$ має вигляд:

${\displaystyle \sum _{k<i}a_{k}b_{i+k-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.}$

Згідно вибору ${\displaystyle i,j}$ елемент ${\displaystyle p}$ ділить всі доданки у цій сумі за винятком ${\displaystyle a_{i}b_{j},}$ яких він не ділить оскільки кільце є факторіальним. Отож він не ділить і всю суму, що є одним з коефіцієнтів многочлена. Як наслідок, якщо обидва многочлени ${\displaystyle f(x),g(x)}$ є примітивними то єдиними елементами, що ділять всі коефіцієнти їх добутку є оборотні елементи, тобто ${\displaystyle f(x)g(x)}$ — примітивний многочлен.

Нехай тепер ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)}$ — факторизація у кільці ${\displaystyle Q[x].}$ Обравши спільні кратні знаменників коефіцієнтів многочленів ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$ отримуємо, що ${\displaystyle af_{1}(x)=g_{1}(x)\in R[x]}$ і ${\displaystyle bf_{2}(x)=g_{2}(x)\in R[x]}$ і ${\displaystyle abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).}$

Кожен незвідний дільник ${\displaystyle ab}$ відповідно ділить всі коефіцієнти многочлена ${\displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x)}$ і відповідно всі коефіцієнти одного з цих многочленів. Поділивши на цей дільник і повторивши цей процес скінченну кількість разів отримуємо факторизацію у кільці ${\displaystyle R[x].}$

Див. також

• Теорема Люрота
• Факторіальне кільце

Література

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN