Область Прюфера

У комутативній алгебрі, областями Прюфера називається тип комутативних кілець які узагальнюють поняття кільця Дедекінда на випадок кілець, що не обов'язково є нетеровими. Ці кільця мають багато властивостей кілець Дедекінда але зазвичай лише для скінченнопороджених модулів. Названі на честь німецького математика Гайнца Прюфера.

Означення

Для областей Прюфера існує досить багато еквівалентних означень.

Через ідеали кільця

• Кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал I у кільці R є оборотним: тобто ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R}$, де ${\displaystyle I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}}$ і ${\displaystyle \ q(R)}$ є поле часток R. Еквівалентно, кожен ненульовий ідеал породжений двома елементами є оборотним.
• Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J, K R, виконується рівність:

${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).}$

• Для всіх (скінченнопороджених) ідеалів I, J, K R, виконується рівність:

${\displaystyle I(J\cap K)=IJ\cap IK.}$

• Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J R виконується властивість:

${\displaystyle (I+J)(I\cap J)=IJ.}$

• Для всіх скінченнопороджених ідеалів I, J, K R, якщо IJ = IK тоді J = K або I = 0.

За допомогою локалізацій

• Для кожного простого ідеалу P кільця R, локалізація R_P є кільцем нормування.
• Для кожного максимального ідеалу m у R, локалізація R_m є кільцем нормування.
• R є цілозамкнутим і кожне кільце, що містить R і є підкільцем поля часток R є перетином локалізацій кільця R

За допомогою поняття плоскості модуля

• Кожен R-модуль без кручень є плоским.
• Кожен ідеал кільця R є плоским
• Кожне кільце, що містить R і є підкільцем поля часток R є R-плоским модулем
• Кожен підмодуль плоского R-модуля є плоским.
• Якщо M і N є R-модулями без кручень тоді їх тензорний добуток M ⊗_R N є модулем без кручень.
• Якщо I і J є ідеалами у R тоді I ⊗_R J є модулем без кручень.
• Підмодуль кручень кожного скінченнопороджений модуль є прямим доданком, (Kaplansky, 1960).

За допомогою поняття цілого замикання

• Кожне кільце, що містить R і є підкільцем поле часток R є цілозамкнутим
• R є цілозамкнутим кільцем і є деяке ціле число n, таке що для всіх елементів a, b кільця R виконується рівність (a,b)ⁿ = (aⁿ,bⁿ).
• R є цілозамкнуте і кожен елемент поля часток K кільця R є коренем многочлена у R[x] коефіцієнти якого породжують R як R-модуль, (Gilmer та Hoffmann, 1975, с. 81).

Властивості

• Комутативне кільце є кільце Дедекінда якщо і тільки якщо воно є областю Прюфера і кільцем Нетер.
• Хоча області Прюфера можуть не бути нетеровими, вони завжди є когерентними кільцями, оскільки скінченнопороджені проективні модулі є скінченно пов'язаними.
• Хоча ідеали кільця Дедекінда породжуються двома елементами, для кожного додатного цілого числа n, існує область Прюфера скінченнопороджені ідеали якої породжуються не менше, ніж n елементами, (Swan, 1984). Проте скінченнопороджені максимальні ідеали області Прюфера породжуються двома елементами, (Fontana, Huckaba та Papick, 1997, с. 31).
• Якщо R є областю Прюфера, і K є її поле часток, тоді будь-яке кільце S для якого R ⊆ S ⊆ K є областю Прюфера.
• Якщо R є область Прюфера, K є її поле часток, і L є алгебричним розширенням поля K, тоді ціле замикання R у L є областю Прюфера, (Fuchs та Salce, 2001, с. 93).
• Скінченнопороджений модуль M над областю Прюфера є проективним якщо і тільки якщо він є модулем без кручень. Ця властивість характеризує області Прюфера.
• Теорема Гілмера — Гофмана. Нехай R є областю цілісності, K її полем часток, і S — цілим замиканням R у K. Тоді S є областю Прюфера якщо і тільки якщо кожен елемент K є коренем многочлена у R[X] хоч один із коефіцієнтів якого є оборотним елементом у R, (Gilmer та Hoffmann, 1975, Theorem 2).
• Область цілісності є область Прюфера якщо і тільки якщо підмодуль кручення є прямим доданком у випадку коли він є скінченнопородженим, (Kaplansky, 1960).

Приклади

• Кільце цілих функцій на множині комплексних чисел утворюють область Прюфера.
• Кільце многочленів із раціональними коефіцієнтами, значення яких на множині цілих чисел теж є цілими числами є областю Прюфера, на відміну від кільця Z[X]. (Narkiewicz, 1995, с. 56).
• Тоді як кожне кільце цілих чисел є кільцем Дедекінда, їх об'єднання, кільце цілих алгебричних чисел є областю Прюфера.

Узагальнення

Кільцем Прюфера називається комутативне кільце у якому кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал усі елементи якого не є дільниками нуля є оборотним (тобто, проективним).

Див. також

• Кільце Дедекінда
• Кільце нормування

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Fontana, Marco; Huckaba, James A.; Papick, Ira J. (1997), Prüfer domains, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, т. 203, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN , MR 1413297
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, т. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN , MR 1794715
• Gilmer, Robert (1972), Multiplicative ideal theory, New York: Marcel Dekker Inc., MR 0427289
• Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), A characterization of Prüfer domains in terms of polynomials, Pacific J. Math., 60 (1): 81—85, doi:10.2140/pjm.1975.60.81, ISSN 0030-8730, MR 0412175.

• Kaplansky, Irving (1960), A characterization of Prufer rings, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 24: 279—281, MR 0125137
• Knight, J. T. (1971), Commutative Algebra, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 5, Cambridge University Press, ISBN 
• Narkiewicz, Władysław (1995), Polynomial mappings, Lecture Notes in Mathematics, т. 1600, Berlin: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0829.11002
• Swan, Richard G. (1984), n-generator ideals in Prüfer domains, Pacific Journal of Mathematics, 111 (2): 433—446, doi:10.2140/pjm.1984.111.433, ISSN 0030-8730, MR 0734865