Пряма границя

Індуктивна (або пряма) границя  — конструкція, що виникла спочатку в теорії множин і топології, а потім знайшла широке застосування в багатьох розділах математики. Двоїсте поняття  — проективна (або обернена) границя.

Ця конструкція дозволяє побудувати новий об'єкт ${\displaystyle X}$ по послідовності (індексованій направленою множиною) однотипних об'єктів ${\displaystyle X_{i}}$ і набору відображень ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$. Для індуктивної границі зазвичай використовується позначення

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$.

Ми дамо визначення для алгебраїчних структур, а потім  — для об'єктів довільної категорії.

Визначення

Алгебраїчні об'єкти

У цьому розділі буде дано визначення, що підходить для множин з додатковою структурою, таких як групи, кільця, модулі над фіксованим кільцем.

Нехай ${\displaystyle I}$  — направлена множина з відношенням передпорядку ${\displaystyle \leqslant }$ і нехай кожному елементу ${\displaystyle i\in I}$ відповідає алгебраїчний об'єкт ${\displaystyle X_{i}}$, а кожній парі ${\displaystyle (i,\;j)}$, ${\displaystyle i,\;j\in I}$, в якій ${\displaystyle i\leqslant j}$, відповідає гомоморфізм ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$, причому ${\displaystyle f_{ii}}$  — тотожні відображення для будь-якого ${\displaystyle i\in I}$ і ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ з ${\displaystyle I}$. Таку систему об'єктів і гомоморфізмів називають також направленою системою.

Тоді множина-носій прямої межі направленої системи ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$  — це фактор-множина диз'юнктного об'єднання множин-носіїв ${\displaystyle X_{i}}$ по відношенню еквівалентності:

${\displaystyle \varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .}$

Тут ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ і ${\displaystyle x_{j}\in X_{j}}$ еквівалентні, якщо існує таке ${\displaystyle k\in I}$, що ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}$. Інтуїтивно, два елементи диз'юнктного об'єднання еквівалентні, тоді і тільки тоді, коли вони «рано чи пізно стануть еквівалентними» в направленій системі. Більш просте формулювання  — це транзитивне замикання відносини еквівалентності «кожен елемент еквівалентний своїм образам», тобто ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$.

З цього визначення легко отримати канонічні морфізми ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$, котрі відправляють кожен елемент в його клас еквівалентності. Алгебраїчну структуру на ${\displaystyle X}$ можна отримати, виходячи із цих гомоморфізмів.

Визначення для довільної категорії

У довільній категорії пряму границю можна визначити за допомогою її універсальної властивості. А саме, пряма границя направленої системи ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$  — це об'єкт ${\displaystyle X}$ категорії, такий що виконуються наступні умови:

1. Існують такі відображення ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\to X}$, що ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j}$;
2. Для будь-яких відображень ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to Y}$, в довільний обєкт ${\displaystyle Y}$, для яких виконані рівності ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}}$ для будь-яких ${\displaystyle i\leqslant j}$, існує єдине відображення ${\displaystyle u:X\to Y}$, що ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i}}$, для всіх ${\displaystyle i\in I}$.

Більш загально, пряма границя направленої системи  — це те ж саме, що її в сенсі теорії категорій.

Приклади

• На довільній сім'ї підмножин даної множини можна задати структуру передпорядку по включенню. Якщо цей передпорядок дійсно є направленим, то прямою границею є звичайне об'єднання множин.
• Нехай p  — просте число. Розглянемо направлену систему з груп Z/pⁿZ і гомоморфізмів Z/pⁿZ > Z/pⁿ⁺¹Z, індукованих множенням на p. Пряма границя цієї системи містить всі корені з одиниці, порядок яких  — деякий степінь p. Їх група по множенню називається групою Прюфера Z(p^∞).
• Нехай F  — пучок на топологічному просторі X зі значеннями в C. Зафіксуємо точку x в X. Відкриті околи x утворюють направлену систему по включенню (U ≤ V якщо U містить V). Функтор пучка зіставляє їй направлену систему ( F(U), r_U,V ), де r  — відображення обмеження. Пряма границя цієї системи складається з ростків F над x і позначається F_x .
• Прямі межі в категорії топологічних просторів виходять присвоєнням фінальна топологія відповідної множини-носія.

Література

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — .
• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN , OCLC 40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN , OCLC 40551485
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390