Корені з одиниці

Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена ${\displaystyle x^{n}-1(n\geqslant 1)}$. Іншими словами, це комплексне число ${\displaystyle \ x}$, для якого

Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

${\displaystyle \ x^{n}=1.}$

Запис

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

${\displaystyle 1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0}$

Тоді за формулою Муавра

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.\,}$

одержимо:

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

Тут ${\displaystyle \ u_{k}}$ — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {2\pi ki}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна ${\displaystyle n}$, і всі вони різні.

Властивості

Геометричні властивості

• Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
• Якщо ${\displaystyle \ u_{k}}$ — корінь з одиниці, то спряжене до нього число ${\displaystyle {\overline {u_{k}}}}$ — теж корінь з одиниці.

Алгебраїчні властивості

• Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
• Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
• Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент ${\displaystyle u_{k}}$, індекс ${\displaystyle k}$ якого взаємно простий ${\displaystyle n}$.
  • Наслідки:
  • елемент ${\displaystyle u_{1}}$ завжди є первісним;
  • якщо ${\displaystyle n}$ — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім ${\displaystyle \pm 1}$, охоплюють всю групу;
  • число первісних коренів рівне ${\displaystyle \varphi (n)}$, де ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера.
• Якщо ${\displaystyle n>1}$, то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці ${\displaystyle u}$ має місце формула:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0.}$

Приклади

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

${\displaystyle \left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

Корені 4-го степеня з одиниці:

${\displaystyle \left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}}$

Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:

${\displaystyle \left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

${\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Див. також

• Група Прюфера
• Ікосіани
• Кругове поле
• Многочлен поділу кола
• Сума Гаусса

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Milne, James S. (1998). . Course Notes. Архів оригіналу за 27 серпня 2010. Процитовано 12 серпня 2010.