Стала функція

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення. Наприклад, функція ${\displaystyle y(x)=4}$ є сталою функцією, тому що значення ${\displaystyle y(x)}$ дорівнює 4 незалежно від вхідного значення ${\displaystyle x}$ (див. зображення).

Стала функція y = 4.

Основні властивості

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму ${\displaystyle y(x)=c}$ або просто ${\displaystyle y=c}$.

Приклад: Функція ${\displaystyle y(x)=2}$ або просто ${\displaystyle y=2}$ є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є ${\displaystyle c=2}$. Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».

Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції ${\displaystyle y=c}$ — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку ${\displaystyle (0,c)}$.

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма ${\displaystyle f(x)=c,c\neq 0}$. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном ${\displaystyle f(x)=0}$ є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0. Часто це пишеться: ${\displaystyle (c)'=0}$. Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.

Приклад: Дано сталу функцію ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$. Похідна від y — тотожно нульова функція ${\displaystyle y\,'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}$.

Інші властивості

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

• Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
• Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
• Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин ^[en], елементарної теорії категорії множин (ETCS).
• Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція ${\displaystyle {\tilde {x}}:Y\rightarrow X}$ така, що ${\displaystyle {\tilde {x}}(y)=x}$ для всіх ${\displaystyle y\in Y}$. І навпаки, якщо функція ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ задовольняє ${\displaystyle f(y)=f(y')}$ для всіх ${\displaystyle y,y'\in Y}$, ${\displaystyle f}$ за визначенням є сталою функцією.
  • Як наслідок, одноточкова множина є ^[en] в категорії множин.
  • Кожна множина ${\displaystyle X}$ канонічно ізоморфна множині функцій ${\displaystyle X^{1}}$, або множині Hom ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$) категорія множин є ^[en] з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції ${\displaystyle p_{1}}$ і ${\displaystyle p_{2}}$ впорядкованих пар ${\displaystyle (*,x)}$ і ${\displaystyle (x,*)}$ відповідно до елемента ${\displaystyle x}$, де ${\displaystyle *}$ є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є ^[en] тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Примітки

1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN .
2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function (PDF). Addison-Wesley. с. 175. Процитовано 12 січня 2014.
3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN .
4. Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано 12 січня 2014.
5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN .
6. Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано 12 січня 2014.
7. Zero Derivative implies Constant Function. Процитовано 12 січня 2014.
8. Leinster, Tom (27 червня 2011). An informal introduction to topos theory. arXiv:1012.5647 [math.CT].

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Constant Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Constant function на PlanetMath