Звуження функції

Звуження функції на підмножину ${\displaystyle X}$ її області визначення ${\displaystyle D\supset X}$ — функція з областю визначення ${\displaystyle X}$, що збігається з початковою функцією на всій ${\displaystyle X}$.

Звуження функції ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X}$ зазвичай позначають ${\displaystyle f|_{X}}$ або ${\displaystyle f|X}$.

Так, для ${\displaystyle f:A\to B}$, і ${\displaystyle X\subset A}$, ${\displaystyle g=f|_{X}}$ означає, що ${\displaystyle g:X\to B}$ і ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ для будь-якого ${\displaystyle x\in X}$.

Визначення

Нехай дано відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ і ${\displaystyle M\subset X}$.

Функцію ${\displaystyle g\colon M\to Y}$, яка набуває на ${\displaystyle M}$ тих самих значень, що й функція ${\displaystyle f}$, називають звуженням (або, інакше обмеженням) функції ${\displaystyle f}$ на множину ${\displaystyle M}$.

Варіації та узагальнення

• Найзагальніше визначення звуження реалізується в контексті пучків^[].
• Для функції ${\displaystyle f:A\to B}$ розглядають також звуження на підмножину ${\displaystyle A\times B}$

Продовження

Якщо функція ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ така, що вона є звуженням для деякої функції ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то функцію ${\displaystyle f}$, відповідно, називають продовженням функції ${\displaystyle g}$ на множину ${\displaystyle X}$.

Маючи деяку функцію ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, її можна продовжити нескінченним числом способів на множину ${\displaystyle M\supset X}$, зокрема й неперервним способом. Однак, якщо функція ${\displaystyle f}$ — аналітична функція в ${\displaystyle X}$, то існує єдине аналітичне продовження на ${\displaystyle M}$.

Див. також

• Оператор сліду