Оператор сліду

Оператор сліду — розширення поняття звуження функції на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із (просторів Соболєва).

Функція, визначена на прямокутнику (вгорі — червоний колір) та її слід (червоний внизу)

Якщо ${\displaystyle \Omega }$ — область в евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і функція ${\displaystyle U\in C({\bar {\Omega }})}$, то ${\displaystyle U}$ приймає значення на границі ${\displaystyle \partial \Omega }$ , яке позначається ${\displaystyle U|_{d\Omega }}$. Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі ${\displaystyle \partial \Omega }$ для довільної функції ${\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )}$ (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини ${\displaystyle \partial \Omega }$ дорівнює нулю).

Теорема

Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — обмежена область і ${\displaystyle \partial \Omega }$ є ${\displaystyle C^{1};p\in [1,\infty )}$. Тоді існує такий лінійний оператор 

${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\mapsto L^{p}(\partial \Omega )}$, що:

 1)${\displaystyle T_{U}=U|_{d\Omega }}$, якщо ${\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$; 2)${\displaystyle \exists C>0\forall U\in W^{1,p}(\Omega ):\|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$. 

Означення

Оператор ${\displaystyle T}$ визначений у теоремі, називається оператором сліду, а ${\displaystyle T_{U}}$ — слідом функції на границі ${\displaystyle \partial \Omega }$. 

Доведення

1. Припустимо спочатку, що ${\displaystyle U\in C^{1}(\Omega )}$ і границя області ${\displaystyle \Omega }$ є плоскою в деякому околі точки ${\displaystyle x^{0}}$, тобто існує таке число ${\displaystyle r>0}$, що ${\displaystyle B_{r}(x^{0})\cap ({\bar {\Omega }})=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\geqslant 0\}=:B_{r}^{+}}$.

Позначимо ${\displaystyle B_{r}^{-}:=B_{r}(x^{0})\cap \{x:x_{n}\leqslant 0\}.}$

Виберемо функцію ${\displaystyle \zeta \in C_{0}^{\infty }(B_{r}(x^{0}))}$ таку, що ${\displaystyle \zeta \geqslant 0}$ на ${\displaystyle B_{r}(x^{0})}$ і ${\displaystyle \zeta \equiv 1}$ на ${\displaystyle B_{r/2}(x^{0})}$. Позначимо ${\displaystyle \Gamma :=B_{r/2}(x^{0})\cap \{x:x_{n}=0\}}$ i ${\displaystyle x^{\prime }=(x_{1},...,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}=\{x_{n}=0\}}$. Застосовуючи (нерівність Юнга), виводимо

 ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }|U|^{p}~dx^{\prime }\leqslant \int \limits _{\{x_{n}=0\}}\zeta |U|^{p}~dx^{\prime }=-\int \limits _{B_{r}^{+}}\partial x_{n}(\zeta |U|^{p})dx=-\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}\partial x_{n}\zeta +\zeta p|U|^{p-1}\operatorname {sgn}(U)\partial x_{n}U)dx\leqslant C\int \limits _{B_{r}^{+}}(|U|^{p}+\sum _{i=1}^{n}|\partial x_{i}U|^{p})dx\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(B_{r}^{+})}^{p}}$ (*) 

2. Якщо межа не є плоскою в околі ${\displaystyle B_{r}(x^{0})}$ точки ${\displaystyle x^{0}\in \partial \Omega }$, то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення ${\displaystyle F:B_{r}(x^{0})\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ i застосувавши (*) виводимо нерівність

 ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }|U|^{p}d\sigma _{x}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}}$ 

де ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega \cap B_{r/2}(x^{0})}$.

3.Оскільки ${\displaystyle \partial \Omega }$ — компакт, то існує скінченне число точок ${\displaystyle x_{i}^{0}\in \partial \Omega ,i=1,...N}$ і відкритих множин ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ , які містять ${\displaystyle x_{i}^{0}}$ і

${\displaystyle \partial \Omega \subset \bigcup _{i=1}^{N}\Gamma _{i}}$ та ${\displaystyle \|U\|_{L^{p}(\Gamma _{i})}^{p}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}^{p}}$. Підсумовуючи останні нерівності за ${\displaystyle i=1,...N}$ отримаємо нерівність

 ${\displaystyle \|U\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C_{i}\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$ 

Для довільної функції ${\displaystyle U\in C^{1}(\Omega )}$ визначимо оператор ${\displaystyle T_{U}:=U|_{\partial \Omega }}$. Очевидно, що він є лінійним і

 ${\displaystyle \|T_{U}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$ (**) 

4. Тепер розглянемо довільну функцію ${\displaystyle U\in W^{1,p}(\Omega )}$. Існує послідовність ${\displaystyle \{U_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ така, що

${\displaystyle U_{m}\longrightarrow U}$ в ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ при ${\displaystyle m\longrightarrow +\infty }$

Для кожної функції ${\displaystyle U_{m}}$ визначена функція ${\displaystyle T_{U_{m}}\in L^{p}(\partial \Omega )}$ і має місце нерівність (**). Тоді

 ${\displaystyle \|T_{U_{m}}-T_{U_{k}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}-U_{k}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$. 

Отже, ${\displaystyle \{T_{U_{m}}\}_{m=1}^{\infty }}$ — (фундаментальна послідовність) у ${\displaystyle L^{p}(\partial \Omega )}$. Границею цієї послідовності позначимо через ${\displaystyle T_{U}}$, тобто ${\displaystyle T_{U}:=\lim _{m\mapsto \infty }T_{U_{m}}}$. Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності

${\displaystyle \|T_{U_{m}}\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U_{m}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$ при ${\displaystyle m\longrightarrow \infty }$, отримаємо

 ${\displaystyle \|T_{U}\|_{{L^{p}}(\partial \Omega )}\leqslant C\|U\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$. ${\displaystyle \Box }$ 

Див. також

• Звуження функції
• (Простір Соболєва)

Література

( Мельник Т.А), Креневич А.П. Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.