Нерівність Юнга в математиці формулюється так: для будь-яких дійсних чисел і таких, що справедливо:
- .
Нерівність названа на честь англійського математика .
Доведення
Для чи нерівність очевидна. Для , нерівність випливає з опуклості логарифмічної функції: для будь-яких ,
.
Взявши в даній нерівності одержимо, що
,
- і остаточно нерівність Юнга одержується за допомогою експоненціювання.
Див. також
Джерела
- , Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nerivnist Yunga v matematici formulyuyetsya tak dlya bud yakih dijsnih chisel a b 0 displaystyle a b geq 0 i p q 1 displaystyle p q geq 1 takih sho 1p 1q 1 displaystyle frac 1 p frac 1 q 1 spravedlivo ab app bqq displaystyle ab leq frac a p p frac b q q Nerivnist nazvana na chest anglijskogo matematika DovedennyaDlya a 0 displaystyle a 0 chi b 0 displaystyle b 0 nerivnist ochevidna Dlya a gt 0 displaystyle a gt 0 b gt 0 displaystyle b gt 0 nerivnist viplivaye z opuklosti logarifmichnoyi funkciyi dlya bud yakih x1 displaystyle x 1 x2 gt 0 displaystyle x 2 gt 0 ln ax1 bx2 aln x1 bln x2 a b 0 a b 1 displaystyle ln alpha x 1 beta x 2 geqslant alpha ln x 1 beta ln x 2 mathcal alpha beta geqslant 0 alpha beta 1 Vzyavshi v danij nerivnosti a p 1 b q 1 x1 ap x2 bp displaystyle alpha p 1 beta q 1 x 1 a p x 2 b p oderzhimo sho ln app bpq ln app ln bpq ln ab displaystyle ln left frac a p p frac b p q right geqslant frac ln a p p frac ln b p q ln ab i ostatochno nerivnist Yunga oderzhuyetsya za dopomogoyu eksponenciyuvannya Div takozhNerivnist Minkovskogo Nerivnist Geldera Teorema YungaDzherela Bellman R Neravenstva Moskva Nauka 1965 ros