Перетин розшарування

Визначення

Перетин s розшарування p : E → B. Перетин s ідентифікує базовий простір B з підпростором s(B) просторуE.

Нехай ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$ — локально тривіальне розшарування з загальним простором ${\displaystyle E}$, базовим простором ${\displaystyle B}$, проективним відображенням ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ і стандартним шаром ${\displaystyle F}$. Перетином розшарування (іноді використовується термін переріз розшарування) називається ін'єктивне неперервне відображення ${\displaystyle s\colon B\to E,}$ таке що

${\displaystyle (\pi \circ s)(x)=\pi (s(x))=x}$

для всіх ${\displaystyle x\in B}$. Таким чином відображення ${\displaystyle s}$ є правим оберненим до відображення ${\displaystyle \pi }$. Множину всіх (глобальних) перетинів позначають ${\displaystyle \Gamma (B,E)}$ або просто ${\displaystyle \Gamma (E)}$.

У диференціальній геометрії ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ і ${\displaystyle F}$ є гладкими многовидами, відображення ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ теж є гладким і в означення перетину теж вимагається диференційовність того ж класу.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle (F\times B,B,\pi ,F)}$ є тривіальним розшаруванням і ${\displaystyle \pi \colon F\times B\to B}$ є простою проєкцією на другий аргумент. Тоді перетин ${\displaystyle s\colon B\to F\times B}$ є ізоморфним до деякого неперервного відображення ${\displaystyle B\to F.}$
• Багато важливих об'єктів у топології і диференціальній геометрії можуть бути визначені як перетини відповідних розшарувань. Зокрема:

1. Векторне поле ${\displaystyle v}$ на многовиді ${\displaystyle M}$ є перетином ${\displaystyle v\colon M\to TM}$, дотичного розшарування ${\displaystyle x\in T_{p}M}$ на многовиді${\displaystyle M}$.
2. Подібним чином диференціальна форма степеня ${\displaystyle k}$ — це гладкий перетин ${\displaystyle k}$-ого зовнішнього степеня многовиду.
3. Більш загально тензорне поле типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ є перетином тензорного розшарування типу ${\displaystyle (p,\;q)}$.

Локальні і глобальні перерізи

Коли перетин визначений на всьому базовому просторі він називається глобальним. Якщо натомість ${\displaystyle U\subset B}$ — відкрита підмножина і для розшарування ${\displaystyle (E,U,\pi ,F)}$ існує перетин ${\displaystyle s\colon U\to E}$ такий що ${\displaystyle \pi (s(x))=x}$ для всіх ${\displaystyle x\in U}$ то цей переріз називається локальним. З локальної тривіалізації очевидно, що кожне локально тривіальне розшарування має локальні перерізи в околі кожної своєї точки.

Натомість розшарування може не мати глобального перетину. Наприклад стрічка Мебіуса з видаленим нульовим перетином є локально тривіальним розшаруванням з базовим простором ${\displaystyle S^{1}}$ (звичайним колом) і стандартним шаром ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$. На цьому розшаруванні немає глобального перетину.

Іншим прикладом може бути, наприклад, реперне розшарування на кулі ${\displaystyle S^{2}}$, тобто розшарування де ${\displaystyle B=S^{2}}$ і для кожної точки ${\displaystyle x\in S^{2}}$ елементами шару ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ є всі упорядковані базиси дотичного простору ${\displaystyle T_{x}S^{2}}$. Глобального перетину для цього розшарування немає оскільки не існує навіть всюди ненульового векторного поля на кулі.

Натомість кожне векторне і тензорне розшарування мають глобальні перетини (зокрема нульові перетини). Головне розшарування має глобальний перетин тоді і тільки тоді, коли воно є тривіальним.

Література

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
• Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.