Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних галузях математики — топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.
Визначення
- Нехай
— деяка множина, а
- сім'я всіх його підмножин. Тоді
є топологією, що називається дискретною топологією, а пара
називається дискретним топологічним простором.
- Нехай
- метричний простір, де метрика
визначена так:
Тоді називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.
Зауваження
Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.
Приклади
- Нехай
де
, і
- дискретна метрика на
. Тоді
- дискретний метричний, а отже і топологічний простір.
- Нехай
и
Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.
Властивості
- Ця топологія є найсильнішою топологією на множині
.
- Довільна підмножина
є одночасно відкритою і замкненою.
- Кожна точка простору
ізольована в
.
- Кожне відображення з дискретного простору .
- Дискретна топологія породжується дискретною метрикою. Тому дискретний простір .
- Одноточкові множини дискретного топологічного простору утворюють його базу.
- Дискретний простір , задовольняє першу аксіому зліченності та паракомпактний.
- Дискретний топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли він скінченний.
- Дискретний простір , ліндельофів, задовольняє другу аксіому зліченності і сепарабельний в тому й лише в тому разі, коли він . Скінчений дискретний простір має всі .
- Дискретний простір є повним метричним простором другої категорії.
і . Якщо
містить більше однієї точки, то він не зв’язний, а отже не лінійно зв’язний і не .
- Дискретна топологія породжується дискретною , яка складається з усіх підмножин декартового квадрату
, що містять його діагональ. Ця діагональ є базою цієї рівномірності.
- Будь-які два дискретні топологічні простори, що мають однакову потужність гомеоморфні.
- Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору є не більше ніж зліченною.
Див. також
Література
- Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
- ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diskre tnij prostir v zagalnij topologiyi i sumizhnih galuzyah matematiki topologichnij prostir v yakomu vsi tochki izolovani odna vid odnoyi ViznachennyaNehaj X displaystyle X deyaka mnozhina a T displaystyle mathcal T sim ya vsih jogo pidmnozhin Todi T displaystyle mathcal T ye topologiyeyu sho nazivayetsya diskretnoyu topologiyeyu a para X T displaystyle X mathcal T nazivayetsya diskretnim topologichnim prostorom Nehaj X ϱ displaystyle X varrho metrichnij prostir de metrika ϱ displaystyle varrho viznachena tak ϱ x y 1 x y 0 x y x y X displaystyle varrho x y left begin matrix 1 amp x not y 0 amp x y end matrix right quad x y in X Todi ϱ displaystyle varrho nazivayetsya diskre tnoyu me trikoyu a ves prostir nazivayetsya diskretnim metrichnim prostorom ZauvazhennyaTopologiya sho indukuyetsya diskretnoyu metrikoyu ye diskretnoyu Zvorotne vzagali kazhuchi nevirno Metrika sho ne ye diskretnoyu mozhe porodzhuvati diskretnu topologiyu PrikladiNehaj X 1 n displaystyle X 1 ldots n de n N displaystyle n in mathbb N i ϱ displaystyle varrho diskretna metrika na X displaystyle X Todi X ϱ displaystyle X varrho diskretnij metrichnij a otzhe i topologichnij prostir Nehaj X 1 n n N displaystyle X 1 n n in mathbb N i ϱ x y x y displaystyle varrho x y x y Ochevidno zadana metrika ne diskretna Prote vona porodzhuye diskretnu topologiyu VlastivostiCya topologiya ye najsilnishoyu topologiyeyu na mnozhini X displaystyle X Dovilna pidmnozhina X displaystyle X ye odnochasno vidkritoyu i zamknenoyu Kozhna tochka prostoru X displaystyle X izolovana v X displaystyle X Kozhne vidobrazhennya z diskretnogo prostoru Diskretna topologiya porodzhuyetsya diskretnoyu metrikoyu Tomu diskretnij prostir Odnotochkovi mnozhini diskretnogo topologichnogo prostoru utvoryuyut jogo bazu Diskretnij prostir zadovolnyaye pershu aksiomu zlichennosti ta parakompaktnij Diskretnij topologichnij prostir kompaktnij todi i tilki todi koli vin skinchennij Diskretnij prostir lindelofiv zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti i separabelnij v tomu j lishe v tomu razi koli vin Skinchenij diskretnij prostir maye vsi Diskretnij prostir ye povnim metrichnim prostorom drugoyi kategoriyi X displaystyle X i Yaksho X displaystyle X mistit bilshe odniyeyi tochki to vin ne zv yaznij a otzhe ne linijno zv yaznij i ne Diskretna topologiya porodzhuyetsya diskretnoyu yaka skladayetsya z usih pidmnozhin dekartovogo kvadratu X X displaystyle X times X sho mistyat jogo diagonal Cya diagonal ye bazoyu ciyeyi rivnomirnosti Bud yaki dva diskretni topologichni prostori sho mayut odnakovu potuzhnist gomeomorfni Bud yaka diskretna pidmnozhina evklidovogo prostoru ye ne bilshe nizh zlichennoyu Div takozhAntidiskretna topologiya Topologichnij prostirLiteraturaBurbaki N Elementy matematiki Obshaya topologiya Osnovnye struktury M Nauka 1968 Kelli Dzh L Obshaya topologiya M Nauka 1968 1995 1978 vid reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 486 68735 3 MR 0507446