Ця стаття не містить . (квітень 2018) |
У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.
Успадкований простір Ліндельофа — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні. Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.
Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.
Властивості просторів Ліндельофа
- Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.
- Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.
- Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.
- Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.
- Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.
- Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.
- Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.
- Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором. Отже, будь-яка Fσ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.
- Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.
- Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.
- Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.
- Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.
Це є наслідком попередньої властивості.
- Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.
Наприклад, лінія Зоргенфрея є ліндельофовим простором, але [en] не є ліндельофовим простором.
- У просторі Ліндельофа будь-яке [en] сімейство непорожніх підмножин є зліченним.
Властивості успадкованого простору Ліндельофа
- Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.
- Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підросторів і неперервних образів.
- Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.
- Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.
- Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.
- Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.
- Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.
Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа
Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є [en], яка є добутком дійсної прямої з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини — множина точок таких, що .
Розглянемо відкрите покриття площини , яке складається з:
- Множини всіх прямокутників , де знаходяться на антидіагоналі.
- Множинн всіх прямокутників , де знаходяться на антидіагоналі.
Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.
Інший спосіб переконатися, що не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору . Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).
Узагальнення
Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є -компактним (або -ліндельофовим), де є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж . Компактний простір є тоді -компактним і простір Ліндельофа є тоді -компактним.
Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа , є найменшим кардинальним числом таким, що кожна відкрите покриття простору має підпокриття розмірності не більше . У цьому позначенні, простір є простором Ліндельофа, якщо . Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число таке, що кожне відкрите покриття простору має підпокриття розмірності строго меншої ніж . У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом таким, що топологічний простір є -компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору .
Див. також
- Аксіоми зліченності
- [en]
Посилання
- Steen & Seebach, p. 19
- Willard, Def. 16.5, p. 110
- Willard, 16E, p. 114
- A note on strongly Lindelöf spaces. 1989. S2CID 208002077.
- Willard, theorem 16.9, p. 111
- Willard, theorem 16.11, p. 112
- Willard, theorem 16.8, p. 111
- Michael, Ernest (1953). (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society (амер.). 4 (5): 831—838. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8. ISSN 0002-9939. Архів оригіналу (PDF) за 6 травня 2021. Процитовано 2 червня 2022.
- Willard, theorem 16.6, p. 110
- . 15 квітня 2012. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
- . 2 травня 2011. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
- . 27 вересня 2009. Архів оригіналу за 2 червня 2022. Процитовано 2 червня 2022.
- Engelking, 3.8.A(b), p. 194
- Engelking, 3.8.A(c), p. 194
- General topology - Another question on hereditarily lindelöf space.
- Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, retrievable on Google Books [1] [ 2 червня 2022 у Wayback Machine.]
- Hušek, Miroslav (1969), The class of k-compact spaces is simple, , 110 (2): 123—126, doi:10.1007/BF01124977, MR 0244947, S2CID 120212653.
Література
- Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
- I. Juhász (1980). Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN .
- Munkres, James. Topology, 2nd ed.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: . . MR 507446.
- Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno kviten 2018 U matematici lindelofiv prostir prostir Lindelofa topologichnij prostir v yakomu kozhne vidkrite pokrittya maye zlichene pidpokrittya Vlastivist Lindelofa ye poslablennyam chastishe vikoristovuvanogo ponyattya kompaktnosti yake vimagaye isnuvannya skinchennogo pidpokrittya Uspadkovanij prostir Lindelofa topologichnij prostir yakij ye pidprostorom Lindelofa Takij prostir inodi nazivayut silno lindelofovim ale zbivaye z tolku te sho takij termin inodi vikoristovuyetsya v zovsim inshomu znachenni Termin uspadkovanij prostir Lindelofa ye bilsh poshirenim i odnoznachnim Prostori Lindelofa nazvani na chest finskogo matematika Ernsta Leonarda Lindelofa Vlastivosti prostoriv LindelofaBud yakij kompaktnij prostir i vzagali kozhen s kompaktnij prostir ye prostorom Lindelofa Zokrema kozhen zlichennij prostir takozh ye prostorom Lindelofa Prostir Lindelofa ye kompaktnim todi j lishe todi koli vin ye zlichenno kompaktnim Bud yakij prostir sho zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti ye prostorom Lindelofa prote ne navpaki Napriklad isnuye bagato kompaktnih prostoriv yaki ne zadovolnyayut drugu aksiomu zlichennosti Metrichnij prostir ye lindelofovim todi j lishe todi koli vin separabelnij i todi j lishe todi koli vin zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti Bud yakij regulyarnij prostir Lindelofa ye normalnim Bud yakij regulyarnij prostir Lindelofa ye parakompaktnim Zlichenne ob yednannya pidprostoriv Lindelofa topologichnogo prostoru ye lindelofovim prostorom Bud yakij zamknenij pidprostir prostoru Lindelofa ye lindelofovim prostorom Otzhe bud yaka Fs mnozhina u prostori Lindelofa ye lindelofovim prostorom Dovilni pidprostori prostoru Lindelofa ne obov yazkovo ye lindelofovimi prostorami Neperervnij obraz prostoru Lindelofa ye lindelofovim prostorom Dobutok prostoru Lindelofa i kompaktnogo prostoru ye lindelofovim prostorom Dobutok prostoru Lindelofa i s kompaktnogo prostoru ye lindelofovim prostorom Ce ye naslidkom poperednoyi vlastivosti Dobutok dvoh prostoriv Lindelofa ne obov yazkovo ye lindelofovim prostorom Napriklad liniya Zorgenfreya S displaystyle S ye lindelofovim prostorom ale en S S displaystyle S times S ne ye lindelofovim prostorom U prostori Lindelofa bud yake en simejstvo neporozhnih pidmnozhin ye zlichennim Vlastivosti uspadkovanogo prostoru LindelofaProstir Lindelofa ye uspadkovanim todi j lishe todi koli bud yakij vidkritij pidprostir prostoru ye lindelofovim prostorom Uspadkovani prostori Lindelofa ye zamknenimi vidnosno zlichennih ob yednan pidrostoriv i neperervnih obraziv Regulyarnij prostir Lindelofa ye uspadkovanim lindelofovim prostorom todi j lishe todi koli vin ye doskonalo normalnim Bud yakij prostir sho zadovolnyaye drugu aksiomu zlichennosti ye uspadkovanim prostorom Lindelofa Bud yakij zlichenij prostir ye uspadkovanim prostorom Lindelofa Bud yakij polskij prostir ye uspadkovanim prostorom Lindelofa Bud yaka mira Radona na uspadkovanomu prostori Lindeljofa ye moderovanoyu Priklad Ploshina Zorgenfreya ne ye prostorom LindelofaDobutok prostoriv Lindelofa ne obov yazkovo ye prostorom Lindelofa Tipovim prikladom cogo ye en S displaystyle mathbb S yaka ye dobutkom dijsnoyi pryamoyi R displaystyle mathbb R z topologiyeyu napivvidkritih intervaliv z samoyu soboyu Vidkritimi mnozhinami na ploshini Zorgenfreya ye ob yednannya napivvidkritih pryamokutnikiv yaki vklyuchayut nizhnij i livij krayi i opuskayut verhnij i pravij krayi vklyuchayuchi verhnij livij nizhnij livij i nizhnij pravij kuti Antidiagonal ploshini S displaystyle mathbb S mnozhina tochok x y displaystyle x y takih sho x y 0 displaystyle x y 0 Rozglyanemo vidkrite pokrittya ploshini S displaystyle mathbb S yake skladayetsya z Mnozhini vsih pryamokutnikiv x y displaystyle infty x times infty y de x y displaystyle x y znahodyatsya na antidiagonali Mnozhinn vsih pryamokutnikiv x y displaystyle x infty times y infty de x y displaystyle x y znahodyatsya na antidiagonali Tut slid zauvazhiti sho kozhna tochka na antidiagonali mistitsya tochno v odnij mnozhini pokrittya tomu vsi ci mnozhini potribni Inshij sposib perekonatisya sho S displaystyle S ne ye prostorom Lindelofa polyagaye v tomu sho treba pomititi sho antidiagonal viznachaye zamknutij i nezlichenij diskretnij pidprostir prostoru S displaystyle S Cej pidprostir ne ye pidprostorom Lindelofa i tomu ves prostir ne mozhe buti lindelofovim prostorom oskilki zamkneni pidprostori prostoriv Lindelofa takozh ye prostorami Lindelofa UzagalnennyaNastupne oznachennya uzagalnyuye oznachennya kompaktnosti ta lindelofnosti Topologichnij prostir ye k displaystyle kappa kompaktnim abo k displaystyle kappa lindelofovim de k displaystyle kappa ye bud yakim kardinalnim chislom yaksho kozhne vidkrite pokrittya mnozhini maye pidpokrittya kardinalnosti strogo menshoyi nizh k displaystyle kappa Kompaktnij prostir ye todi ℵ0 displaystyle aleph 0 kompaktnim i prostir Lindelofa ye todi ℵ1 displaystyle aleph 1 kompaktnim Stepin Lindelofa abo chislo Lindelofa l X displaystyle l X ye najmenshim kardinalnim chislom k displaystyle kappa takim sho kozhna vidkrite pokrittya prostoru X displaystyle X maye pidpokrittya rozmirnosti ne bilshe k displaystyle kappa U comu poznachenni prostir X displaystyle X ye prostorom Lindelofa yaksho l X ℵ0 displaystyle l X aleph 0 Viznachene vishe chislo Lindelofa ne rozriznyaye kompaktni prostoru i nekompaktni prostoru Lindelofa Deyaki avtori nazvali chislom Lindelofa inshe ponyattya najmenshe kardinalne chislo k displaystyle kappa take sho kozhne vidkrite pokrittya prostoru X displaystyle X maye pidpokrittya rozmirnosti strogo menshoyi nizh k displaystyle kappa U comu ostannomu i mensh uzhivanomu sensi chislo Lindelofa ye najmenshim kardinalnim chislom k displaystyle kappa takim sho topologichnij prostir X displaystyle X ye k displaystyle kappa kompaktnim Ce ponyattya inodi takozh nazivayut stepenem kompaktnosti prostoru X displaystyle X Div takozhAksiomi zlichennosti en PosilannyaSteen amp Seebach p 19 Willard Def 16 5 p 110 Willard 16E p 114 A note on strongly Lindelof spaces 1989 S2CID 208002077 Willard theorem 16 9 p 111 Willard theorem 16 11 p 112 Willard theorem 16 8 p 111 Michael Ernest 1953 PDF Proceedings of the American Mathematical Society amer 4 5 831 838 doi 10 1090 S0002 9939 1953 0056905 8 ISSN 0002 9939 Arhiv originalu PDF za 6 travnya 2021 Procitovano 2 chervnya 2022 Willard theorem 16 6 p 110 15 kvitnya 2012 Arhiv originalu za 2 chervnya 2022 Procitovano 2 chervnya 2022 2 travnya 2011 Arhiv originalu za 2 chervnya 2022 Procitovano 2 chervnya 2022 27 veresnya 2009 Arhiv originalu za 2 chervnya 2022 Procitovano 2 chervnya 2022 Engelking 3 8 A b p 194 Engelking 3 8 A c p 194 General topology Another question on hereditarily lindelof space Mary Ellen Rudin Lectures on set theoretic topology Conference Board of the Mathematical Sciences American Mathematical Society 1975 p 4 retrievable on Google Books 1 2 chervnya 2022 u Wayback Machine Husek Miroslav 1969 The class of k compact spaces is simple 110 2 123 126 doi 10 1007 BF01124977 MR 0244947 S2CID 120212653 LiteraturaEngelking Ryszard General Topology Heldermann Verlag Berlin 1989 ISBN 3 88538 006 4 I Juhasz 1980 Cardinal functions in topology ten years later Math Centre Tracts Amsterdam ISBN 90 6196 196 3 Munkres James Topology 2nd ed Steen Lynn Arthur Seebach J Arthur Jr 1995 Counterexamples in Topology vid Dover reprint of 1978 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 486 68735 3 MR 507446 Willard Stephen General Topology Dover Publications 2004 ISBN 0 486 43479 6