Зліченно компактний простір

Топологічний простір називається зліченно компактним якщо кожне зліченне покриття має скінченне підпокриття.

Властивості

• Компактний простір є зліченно компактним;
• Зліченно компактний простір завжди є слабко зліченно компактним;
• Для метричних просторів компактність, зліченна компактність, секвенційна компактність та повнота разом з цілком обмеженістю є еквівалентними.
• Приклад множини всіх дійсних чисел зі стандартною топологією показує, що ні з локальної компактності, ні з σ-компактності, ні з паракомпактності не випливає зліченна компактність;
• Для T1 просторів зліченна компактність та слабка зліченна компактність є еквівалентними.

Критерії зліченної компактності

• Для того щоб простір був зліченно компактним необхідно і достатньо щоб кожна його нескінченна підмножина мала принаймні одну строгу граничну точку, тобто точку, в довільному околі якої міститься нескінченна кількість точок підмножини.
• Для того щоб досяжний простір був зліченно компактним необхідно і достатньо, щоб кожна нескінченна множина точок мала принаймні одну граничну точку (такі простори називаються слабко зліченно компактними). Інакше кажучи, в досяжних просторах слабка зліченна компактність еквівалентна зліченній компактності.

Див. також

• Компактний простір
• Секвенційно компактний простір
• Слабко зліченно компактний простір
• Локально компактний простір
• σ-компактний простір

Джерела

• Компактні топологічні простори [ 16 травня 2018 у Wayback Machine.]
• Компактні метричні простори [ 29 березня 2017 у Wayback Machine.]