Регулярний простір

Регулярний простір і простір ${\displaystyle T_{3}}$ — топологічні простори, що характеризуються виконанням досить сильних аксіом віддільності.

Аксіоми відокремлюваності в топологічних просторах
T0	(Колмогорова)
T1	(Фреше)
T2	(Гаусдорфів)
T2½	(Урисонів)
CT2	(повністю Гаусдорфів)
T3	(регулярний Гаусдорфів)
T3½	(Тихонівський)
T4	(нормальний Гаусдорфів)
T5	(повністю нормальний  Гаусдорфів)
T6	(досконало нормальний  Гаусдорфів)
класифікація Колмогорова

Означення

Топологічний простір простір ${\displaystyle X}$ називається регулярним простором, якщо він задовольняє умову віддільності точок від замкнутих множин, тобто для кожної замкнутої множини ${\displaystyle F\subseteq X}$ і точки ${\displaystyle x\in X\setminus F}$ існують відкриті множини ${\displaystyle U,V\subseteq X,}$ що не перетинаються і ${\displaystyle x\in U}$ і ${\displaystyle F\subseteq V{:}}$

Точка x і замкнута множина F відокремлюються за допомогою околів U і V, що зображені великими кругами, які не перетинаються.

Також у цьому випадку кажуть, що точка ${\displaystyle x}$ і замкнута множина ${\displaystyle F}$ розрізняються за допомогою відкритих множин ${\displaystyle U,V}$.

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається гаусдорфовим регулярним простором або простором ${\displaystyle T_{3}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle X}$ є регулярним простором і також гаусдорфовим простором.

Еквівалентно регулярний простір є простором ${\displaystyle T_{3},}$ якщо він є задовольняє аксіому ${\displaystyle T_{0}.}$ Дійсно кожен простір Гаусдорфа є простором ${\displaystyle T_{0}.}$ Навпаки регулярний простір ${\displaystyle T_{0}}$ є гаусдорфовим. Це випливає з того, що для таких просторів із двох різних точок, хоча б одна не залежить замиканню іншої (наслідок аксіоми ${\displaystyle T_{0}}$ ) і з регулярності випливає, що існують відкриті множини, що не перетинаються і відокремлюють вказані точку і замикання іншої. Ці ж множини задовольняють умову в означення просторів Гаусдорфа.

В літературі немає однозначності щодо використання термінів. Іноді регулярним простором можуть називати простір, що також є гаусдорфовим, також простором ${\displaystyle T_{3}}$ можуть називати як регулярний (не обов'язково гаусдорфів), так і гаусдорфів регулярний простір.

Топологічний простір у якому кожна точка має відкритий окіл, що є регулярним простором називається локально регулярним простором.

Приклади

• Більшість типових прикладів у математичному аналізі є просторами ${\displaystyle T_{3}.}$ Серед таких прикладів зокрема: простір дійсних чисел із стандартною топологією, евклідові простори, метричні і метризовні простори. Псевдометричні простори є регулярними але можуть не бути гаусдорфовими.
• Довільна множина із антидискретною топологією є гаусдорфовим регулярним простором.
• Компактні і локально компактні гаусдорфові простори є регулярними.
• Кожен цілком регулярний простір є регулярним але існують регулярні простори, які не є цілком регулярними. Наприклад розглянемо підмножину ${\displaystyle M=:\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}}$ двовимірної площини. На множині ${\displaystyle M}$ введемо топологію ${\displaystyle \tau }$ за допомогою бази околів ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ для точок ${\displaystyle (x,y)\in M{:}}$
  • якщо ${\displaystyle y>0,}$ то ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},}$
  • якщо ${\displaystyle y=0,}$ то ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,y)}$ складається із всіх множин виду ${\displaystyle \{(x,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,}$ де ${\displaystyle B}$ є скінченною множиною,
  • ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},}$ де ${\displaystyle U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:i\leqslant u\}.}$

Тоді ${\displaystyle (M,\tau )}$ є регулярним але не цілком регулярним простором.

• Існують простори ${\displaystyle T_{2}}$ які не є просторами ${\displaystyle T_{3}.}$ Розглянемо наприклад множину ${\displaystyle X=[0,1]}$ з топологією ${\displaystyle \tau }$ отриманою доповненням звичайної топології на ${\displaystyle [0,1]}$ множиною ${\displaystyle [0,1]\setminus \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}.}$ Тоді ${\displaystyle (X,\tau )}$ є гаусдорфовим простором оскільки ${\displaystyle X=[0,1]}$ із звичайною топологією є гаусдорфовим, а топологічний простір із сильнішою топологією є гаусдорфовим, якщо таким є простір із слабшою топологією. Натомість ${\displaystyle (X,\tau )}$ не є регулярним простором. Справді, ${\displaystyle \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}}$ є замкнутою множииною (оскільки за побудовою, її доповнення є відкритою множиною) і її не можна відділити від точки ${\displaystyle \{0\}}$ за допомогою відкритих множин, що не перетинаються.
• Іншим прикладом гаусдорфового простору, що не є простором ${\displaystyle T_{3}}$ є простір із топологією ірраціонального схилу. Цей простір також є прикладом напіврегулярного простору, що не є регулярним.
• Натомість простір ${\displaystyle X=\{0,1,2,3\}}$ із топологією ${\displaystyle \tau ={\big \{}\varnothing ,\{0,1\},\{2,3\},X{\big \}}\;}$ є регулярним але не гаусдорфовим.

Властивості

• Топологічний простір ${\displaystyle X}$ є регулярним тоді і тільки тоді, коли виконується якась із еквівалентних умов:

1. Для кожної компактної множини ${\displaystyle A}$ і замкнутої множини ${\displaystyle B}$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини ${\displaystyle O_{A},O_{B},}$ що не перетинаються між собою і для яких ${\displaystyle A\subset O_{A}}$ і ${\displaystyle B\subset O_{B}.}$
2. для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і його відкритого околу ${\displaystyle V}$ (тобто ${\displaystyle x\in V\subseteq X}$) існує окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ замикання якого є підмножиною ${\displaystyle V}$ (тобто ${\displaystyle x\in U\subseteq \mathrm {cl} (U)\subseteq V}$).
3. Кожна замкнута множина ${\displaystyle V}$ є рівною перетину усіх своїх замкнутих околів (окіл має містити відкриту множину, що містить ${\displaystyle V}$, тому ${\displaystyle V}$ не є своїм околом).
4. Для кожної множини ${\displaystyle A}$ і відкритої множини ${\displaystyle B}$ перетин яких є непорожнім існує відкрита множина ${\displaystyle O}$ для якої ${\displaystyle A\cap O\neq \emptyset }$ і ${\displaystyle {\bar {O}}\subset B.}$
5. Для кожної непорожньої множини ${\displaystyle A}$ і замкнутої множини ${\displaystyle B}$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини ${\displaystyle O_{A},O_{B}}$ для яких ${\displaystyle A\cap O_{A}\neq \emptyset }$ і ${\displaystyle B\subset O_{B}.}$
6. Кожна база топології є регулярною, тобто для кожної множини ${\displaystyle B}$ із бази і точки ${\displaystyle x\in B}$ існує відкрита множина ${\displaystyle O_{x}}$ для якої ${\displaystyle x\in O_{x}\subset {\bar {O}}_{x}\subset B.}$

• Кожен регулярний топологічний простір ${\displaystyle X}$ який є зліченним або задовольняє другу аксіому зліченності є нормальним простором.
• Підмножина регулярного простору (чи простору ${\displaystyle T_{3}}$) із індукованою топологією є регулярним простором (простором ${\displaystyle T_{3}}$).
• Прямий добуток регулярних просторів (чи просторів ${\displaystyle T_{3}}$) із топологією добутку є регулярним простором (простором ${\displaystyle T_{3}}$).

Див. також

• Аксіоми віддільності
• Гаусдорфів простір
• Цілком регулярний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)