Метризовний простір

Метризовний простір — топологічний простір, що є гомеоморфним деякому метричному простору. Інакше кажучи, простір, топологія якого породжується деякою метрикою. Якщо така метрика існує, то вона не є єдиною за винятком тривіальних випадків: коли простір є порожнім або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного метризовного простору породжується деякою обмеженою метрикою.

Необхідні умови метризовності

• У метризовних просторах виконуються сильні аксіоми віддільності: такі простори є нормальними і навіть .
• Усі метризовні простори є паракомпактними.
• Всі метризовні простори задовольняють першу аксіому зліченності.

Достатня умова метризовності

Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.

Еквівалентні умови метризовності

• Простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, коли він є і має зліченну множину відкритих , що подрібнюються;
• Критерій Стоуна — Архангельського: простір є метризовним у тому і тільки в тому випадку, коли він має зліченну фундаментальну множину відкритих покриттів і задовольняє ${\displaystyle T_{1}}$-аксіому віддільності. Множина відкритих покриттів простору ${\displaystyle X}$ називається фундаментальною, якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і кожного її околу ${\displaystyle U_{x}}$ існує покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ і окіл ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ такі, що кожен елемент покриття ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, що перетинається з ${\displaystyle O_{x}}$, міститься в ${\displaystyle U_{x}}$.

На іншій важливій ​​концепції — локальній скінченності, засновані інші загальні критерії.

• Критерій Нагати — Смирнова: простір ${\displaystyle X}$ є метризовним в тому і тільки в тому випадку, якщо він є регулярним і має базу, що розпадається на зліченну множину локально скінченних сімей множин.
• Критерій Бінга є аналогічним але в ньому замість локально скінченних сімей розглядають дискретні сім'ї множин.

Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризовності пов'язані з поняттями рівномірної бази і регулярної бази. База ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ простору ${\displaystyle X}$ називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки ${\displaystyle x\in X}$ і будь-якого її околу ${\displaystyle O_{x}}$ існує окіл ${\displaystyle U_{x}}$ цієї точки такий, що кількість елементів бази ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, які перетинають одночасно ${\displaystyle U_{x}}$ і доповнення до ${\displaystyle O_{x}}$, є скінченною (відповідно, якщо множина елементів ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ таких що ${\displaystyle \Omega \ni x}$, ${\displaystyle \Omega \not \subset O_{x}}$ є скінченною).

• Простір ${\displaystyle X}$ є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є колективно нормальним і має рівномірну базу.
• Для метризовності ${\displaystyle T_{1}}$-простору необхідно і достатньо, щоб він мав регулярну базу.

• По теоремі Ковальського, зліченний степінь їжака колючості ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$) є універсальним простором для всіх метризовних просторів ваги ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Таким чином, простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є гомеоморфним підпростору зліченного степеня їжака деякої колючості ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Окремі випадки

Для деяких спеціальних класів просторів критерії метризовності є простішими.

Так, для метризовності компактного простору ${\displaystyle X}$ необхідно і достатньо виконання одної із умов:

• ${\displaystyle X}$ має зліченну базою;
• ${\displaystyle X}$ має точково-зліченну базою;

Для метризовності простору топологічної групи необхідно і достатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома зліченності і аксіома віддільності ${\displaystyle T_{0}}$; також тоді простір є метризовним інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).

Простір ${\displaystyle C(X,M)}$ із хемікомпактного простору ${\displaystyle X}$ у метризовний простір ${\displaystyle M}$ із компактно-відкритою топологією є метризовним.

Повні і неповні метрики

Не всі метризовні простори можна метризувати повною метрикою; прикладом метризовного простору на якому це неможливо є простір раціональних чисел.

Простір є метризовним повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо він є метризовним і повно за Чехом, тобто є множиною типу G_δ в деякому компакті, що його містить.

Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої зліченної сім'ї усюди щільних відкритих множин є всюди щільною множиною.

Варіації і узагальнення

До метризовних просторів найбільш близькі за властивостями морівські простори — цілком регулярні простори, що мають зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються і мереживні простори.

Широкий спектр узагальнень поняття метризовності простору одержується послабленням аксіом метрики і розглядом породжених такими «метриками» топологій. Таким прикладом є симетризовні простори, які одержуються відмовою від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і морівські простори.

Інші важливі узагальнення поняття метризовності пов'язані з розглядом «метрик» зі значеннями в та інших алгебричних структурах.

Примітки

1. Swardson, M. A. (1 июня 1979). (PDF). американское математическое общество. Архів оригіналу (PDF) за 14 липня 2014. Процитовано 31 січня 2020.

Література

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Москва : Наука, 1973.