У математиці на будь-якій множині можна ввести різні топології. При цьому деякі топології можуть бути підмножинами інших, тобто всі відкриті множини однієї топології можуть бути відкритими множинами іншої. Таким чином вводиться поняття порівняння топологій, сильніших і слабших топологій щодо відношення включення. Множина усіх топологій на фіксованій множині утворює частково впорядковану множину щодо цього відношення.
Означення
Нехай і — дві топології на множині такі що міститься в
Це означає, що кожна відкрита множина першого топологічного простору є відкритою множиною другого. В цьому випадку топологія називається слабшою (також грубшою або меншою), ніж Відповідно, топологія називається сильнішою (також тоншою, більшою). Деякі автори, особливо в підручниках з математичного аналізу, вживають терміни «сильна топологія» і «слабка топологія» з протилежним значенням.
Бінарне відношення задає структуру часткового порядку на множині всіх можливих топологій множини
Приклади
Найсильніша топологія на — дискретна топологія, в якій усі множини є відкритими. Відповідно, найслабша топологія — тривіальна (або антидискретна) топологія.
Найслабшою топологією на щодо якої задовольняє аксіомі відокремлення T1, називається T1-топологією. Така топологія завжди існує, її можна описати явно як топологію, замкнутими множинами якої є скінченні множини, а також
Властивості
Нехай і — дві топології на множині Тоді наступні твердження є еквівалентними:
- Тотожне відображення є неперервним.
- Тотожне відображення є відкритим відображенням (або, еквівалентно, замкнутим відображенням).
Також з означень випливають твердження:
- Неперервне відображення залишиться неперервним, якщо топологію на замінити на слабшу (відповідно, топологію на — на сильнішу).
- Відкрите відображення залишиться відкритим, якщо топологію на замінити на сильнішу (відповідно, топологію на — на слабшу). Аналогічне твердження є справедливим і для замкнутих відображень.
Ґратка топологій
Множина топологій на утворює повну ґратку щодо відношення Це означає, що довільна сім'я топологій має точну верхню і точну нижню грань. Точною нижньою гранню є перетин топологій. З іншого боку, об'єднання топологій не обов'язково є топологією, і точна верхня грань сім'ї топологій — топологія, для якої їх об'єднання є передбазою.
Будь-яка повна ґратка є також обмеженою, в разі топологій цьому відповідають поняття дискретної і антидискретної топологій.
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)
Примітки
- Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici na bud yakij mnozhini mozhna vvesti rizni topologiyi Pri comu deyaki topologiyi mozhut buti pidmnozhinami inshih tobto vsi vidkriti mnozhini odniyeyi topologiyi mozhut buti vidkritimi mnozhinami inshoyi Takim chinom vvoditsya ponyattya porivnyannya topologij silnishih i slabshih topologij shodo vidnoshennya vklyuchennya Mnozhina usih topologij na fiksovanij mnozhini utvoryuye chastkovo vporyadkovanu mnozhinu shodo cogo vidnoshennya OznachennyaNehaj T 1 displaystyle mathcal T 1 i T 2 displaystyle mathcal T 2 dvi topologiyi na mnozhini X displaystyle X taki sho T 1 displaystyle mathcal T 1 mistitsya v T 2 displaystyle mathcal T 2 T 1 T 2 displaystyle mathcal T 1 subseteq mathcal T 2 Ce oznachaye sho kozhna vidkrita mnozhina pershogo topologichnogo prostoru ye vidkritoyu mnozhinoyu drugogo V comu vipadku topologiya T 1 displaystyle mathcal T 1 nazivayetsya slabshoyu takozh grubshoyu abo menshoyu nizh T 2 displaystyle mathcal T 2 Vidpovidno topologiya T 2 displaystyle mathcal T 2 nazivayetsya silnishoyu takozh tonshoyu bilshoyu Deyaki avtori osoblivo v pidruchnikah z matematichnogo analizu vzhivayut termini silna topologiya i slabka topologiya z protilezhnim znachennyam Binarne vidnoshennya displaystyle subseteq zadaye strukturu chastkovogo poryadku na mnozhini vsih mozhlivih topologij mnozhini X displaystyle X PrikladiNajsilnisha topologiya na X displaystyle X diskretna topologiya v yakij usi mnozhini ye vidkritimi Vidpovidno najslabsha topologiya trivialna abo antidiskretna topologiya Najslabshoyu topologiyeyu na X displaystyle X shodo yakoyi X displaystyle X zadovolnyaye aksiomi vidokremlennya T1 nazivayetsya T1 topologiyeyu Taka topologiya zavzhdi isnuye yiyi mozhna opisati yavno yak topologiyu zamknutimi mnozhinami yakoyi ye skinchenni mnozhini a takozh X displaystyle X VlastivostiNehaj T 1 displaystyle mathcal T 1 i T 2 displaystyle mathcal T 2 dvi topologiyi na mnozhini X displaystyle X Todi nastupni tverdzhennya ye ekvivalentnimi T 1 T 2 displaystyle mathcal T 1 subseteq mathcal T 2 Totozhne vidobrazhennya id X X T 2 X T 1 displaystyle text id X X mathcal T 2 to X mathcal T 1 ye neperervnim Totozhne vidobrazhennya id X X T 1 X T 2 displaystyle text id X X mathcal T 1 to X mathcal T 2 ye vidkritim vidobrazhennyam abo ekvivalentno zamknutim vidobrazhennyam Takozh z oznachen viplivayut tverdzhennya Neperervne vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y zalishitsya neperervnim yaksho topologiyu na Y displaystyle Y zaminiti na slabshu vidpovidno topologiyu na X displaystyle X na silnishu Vidkrite vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y zalishitsya vidkritim yaksho topologiyu na Y displaystyle Y zaminiti na silnishu vidpovidno topologiyu na X displaystyle X na slabshu Analogichne tverdzhennya ye spravedlivim i dlya zamknutih vidobrazhen Gratka topologijMnozhina topologij na X displaystyle X utvoryuye povnu gratku shodo vidnoshennya displaystyle subseteq Ce oznachaye sho dovilna sim ya topologij maye tochnu verhnyu i tochnu nizhnyu gran Tochnoyu nizhnoyu grannyu ye peretin topologij Z inshogo boku ob yednannya topologij ne obov yazkovo ye topologiyeyu i tochna verhnya gran sim yi topologij topologiya dlya yakoyi yih ob yednannya ye peredbazoyu Bud yaka povna gratka ye takozh obmezhenoyu v razi topologij comu vidpovidayut ponyattya diskretnoyi i antidiskretnoyi topologij DzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Gaal Steven A 2009 Point set topology New York Dover Publications ISBN 978 0 486 47222 5 angl PrimitkiMunkres James R 2000 Topology 2nd ed Upper Saddle River NJ Prentice Hall pp 77 78 ISBN 0 13 181629 2