Аксіоми відокремлюваності

Визначення топологічного простору задовільняє дуже широкий клас множин. Зокрема, множини, топологія яких мало подібна на топологію метричного простору. Тому, на топологічні простори часто накладають додаткові умови, зокрема, аксіоми відокремлюваності.

Відомі аксіоми відокремлюваності крім імені мають також символьне позначення: T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ і т. д. Буква T в цих позначеннях походить від нім. Trennungsaxiom, що означає аксіома відокремлюваності.

T₀ — аксіома Колмогорова

Докладніше: Простір T0

Діаграма Наса для аксіом відокремлюваності.

Для двох довільних різних точок ${\displaystyle \ x}$ та ${\displaystyle \ y}$ хоча б одна повинна мати окіл, що не містить другу точку.

T₁ — аксіома Тихонова

Докладніше: Простір T1

Для двох довільних різних точок ${\displaystyle \ x}$ та ${\displaystyle \ y}$ повинен існувати окіл точки ${\displaystyle \ x}$, що не містить точку ${\displaystyle \ y}$ та окіл точки ${\displaystyle \ y}$, що не містить точку ${\displaystyle \ x}$.

T₂ — аксіома Гаусдорфа

Докладніше: Гаусдорфів простір

Для двох довільних різних точок ${\displaystyle \ x}$ та ${\displaystyle \ y}$ повинні існувати околи ${\displaystyle U(x)}$ та ${\displaystyle V(y)}$, що не перетинаються.

T_2½

Докладніше: Урисонів простір

Для двох довільних різних точок ${\displaystyle \ x}$ та ${\displaystyle \ y}$ повинні існувати замкнуті околи ${\displaystyle U(x)}$ та ${\displaystyle V(y)}$, що не перетинаються.

CT₂

Докладніше: Повністю Гаусдорфів простір

Для двох довільних різних точок ${\displaystyle \ x}$ та ${\displaystyle \ y}$ існує неперервна функція, рівна нулю на ${\displaystyle \ x}$ і одиниці на ${\displaystyle \ y}$.

T₃

Докладніше: Регулярний простір

Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існують їх околи, що не перетинаються.

T_3½

Докладніше: Тихонівський простір

Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існує неперервна функція, рівна нулю на множині і одиниці у точці.

Простори, що задовільняють аксіому T_3½ називаються повністю регулярними просторами чи тихонівськими просторами.

T₄

Докладніше: Нормальний простір

Для двох довільних замкнутих множин, що не перетинаються існують їх околи що не перетинаються.

Література

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии [ 19 лютого 2012 у Wayback Machine.]
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Дивись також

• Сепарабельний простір