Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або .
Кардинальне число | |
Формула | |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
Є кількістю | елемент |
|
Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
- Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
- Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
- Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
- Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
Операції над кардинальними числами
Додавання
Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.
Множення
Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини
, де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.
Піднесення до степеня
Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини
, де a=[A], b=[B].
Арифметика кардинальних чисел
Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:
Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:
Мають місце рівності:
Істинні наступні твердження:
1) якщо і
, то
2) якщо , то
3) якщо , то
4) якщо , то
Теорема 1.
для будь-якої множини А.
Теорема 2.(Г.Кантор)
для будь-якого кардинального числа а.
Числа алеф
- Кардинальне число множини
всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої зліченної множини) позначають через
(читається «алеф-нуль»).
- Кардинальне число континуальних множин позначають c (якщо приймати континуум-гіпотезу, то
; останнє читається як «алеф-один»).
- Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають
. Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
Гіпотеза континуума
Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між
(кардиналом множини натуральних чисел) та
(кардиналом множини дійсних чисел), тобто
.
Див. також
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kardinalnim chislom kardinalom v teoriyi mnozhin nazivayetsya ob yekt yakij harakterizuye potuzhnist mnozhini Kardinalne chislo deyakoyi mnozhini A displaystyle A poznachayetsya yak A displaystyle A abo Card A displaystyle Card A Kardinalne chisloFormula0 1 2 3 n ℵ0 ℵ1 ℵ2 ℵa displaystyle 0 1 2 3 ldots n ldots aleph 0 aleph 1 aleph 2 ldots aleph alpha ldots Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaYe kilkistyuelement Kardinalne chislo u Vikishovishi Georg Kantor davav take viznachennya kardinalnogo chisla Potuzhnistyu danoyi mnozhini A nazivayetsya ta zagalna ideya yaka zalishayetsya u nas koli mi mislyachi pro cyu mnozhinu vidvolikayemosya yak vid vsih vlastivostej yiyi elementiv tak i vid yih poryadku Dlya skinchennoyi mnozhini A kardinalnim chislom A ye naturalne chislo yakim poznachayetsya kilkist elementiv ciyeyi mnozhini Dlya neskinchennih mnozhin kardinalne chislo ye uzagalnennyam ponyattya chisla elementiv Hocha kardinalni chisla neskinchennih mnozhin ne mayut vidobrazhennya v naturalnih chislah ale yih mozhna porivnyuvati Nehaj A i B neskinchenni mnozhini todi logichno mozhlivi taki chotiri vipadki Isnuye vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh A i B tobto A B i A B Isnuye vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh mnozhinoyu A i deyakoyu vlasnoyu pidmnozhinoyu B mnozhini B Todi kazhut sho potuzhnist mnozhini A ne bilsha vid potuzhnosti mnozhini B i zapisuyut A B Mnozhina A rivnopotuzhna deyakij pidmnozhini mnozhini B i navpaki mnozhina B rivnopotuzhna deyakij pidmnozhini mnozhini A tobto A B B i B A A Za teoremoyu Kantora Bernshtejna u comu vipadku vikonuyetsya A B tobto A B Ne isnuye vzayemno odnoznachnoyi vidpovidnosti mizh mnozhinoyu A i zhodnoyu pidmnozhinoyu mnozhini B i takozh ne isnuye vzayemno odnoznachnoyi vidpovidnosti mizh mnozhinoyu B i zhodnoyu pidmnozhinoyu mnozhini A Z ciyeyi situaciyi viplivalo b sho potuzhnosti mnozhin A i B neporivnyuvani mizh soboyu Odnak bilsh gliboki doslidzhennya v teoriyi mnozhin pokazali sho spirayuchis na aksiomu viboru mozhna dovesti nemozhlivist chetvertogo vipadku Takim chinom potuzhnosti bud yakih dvoh mnozhin A i B zavzhdi porivnyuvani mizh soboyu Otzhe dlya kardinalnih chisel A i B dovilnih mnozhin A i B vikonuyetsya odne z troh spivvidnoshen A B A B abo B A Yaksho A B odnak mnozhina A nerivnopotuzhna mnozhini B to A lt B Operaciyi nad kardinalnimi chislamiDodavannya Nehaj a ta b dva kardinalni chisla Yih sumoyu a b nazivayetsya kardinalne chislo mnozhini A B de A ta V dovilni mnozhini sho ne peretinayutsya taki sho a A b B Ochevidno sho operaciya dodavannya komutativna i asociativna Mnozhennya Dobutkom a b displaystyle a cdot b dvoh kardinalnih chisel a ta b nazivayetsya kardinalne chislo mnozhini A B displaystyle A times B de a A b B A ta V dovilni mnozhini Operaciya mnozhennya komutativna ta asociativna Pidnesennya do stepenya Stepenem ab displaystyle a b kardinalnogo chisla a z pokaznikom b nazivayetsya kardinalne chislo mnozhini AB displaystyle A B de a A b B Arifmetika kardinalnih chiselDodavannya ta mnozhennya kardinalnih chisel ye operaciyami asociativnimi ta komutativnimi tobto a b c a b c displaystyle a b c a b c a b b a displaystyle a b b a a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c a b b a displaystyle a cdot b b cdot a Mnozhennya distributivne vidnosno dodavannya tobto a b c a b a c displaystyle a cdot b c a cdot b a cdot c Mayut misce rivnosti 1a 1 displaystyle 1 a 1 a1 a displaystyle a 1 a 0 a 0 displaystyle 0 cdot a 0 a 0 a displaystyle a 0 a ab k ab ak displaystyle a b k a b cdot a k ab k ab k displaystyle a b k a b cdot k a b k ak bk displaystyle a cdot b k a k cdot b k Istinni nastupni tverdzhennya 1 yaksho a b displaystyle a leq b i b c displaystyle b leq c to a c displaystyle a leq c 2 yaksho a b displaystyle a leq b to a c b c displaystyle a c leq b c 3 yaksho a b displaystyle a leq b to a c b c displaystyle a cdot c leq b cdot c 4 yaksho a b displaystyle a leq b to ak bk displaystyle a k leq b k Teorema 1 P A 2 A displaystyle P A 2 A dlya bud yakoyi mnozhini A Teorema 2 G Kantor 2a gt a displaystyle 2 a gt a dlya bud yakogo kardinalnogo chisla a Chisla alefDokladnishe Chisla alef Kardinalne chislo mnozhini N displaystyle mathbb N vsih naturalnih chisel zokrema i bud yakoyi zlichennoyi mnozhini poznachayut cherez ℵ0 displaystyle aleph 0 chitayetsya alef nul Kardinalne chislo kontinualnih mnozhin poznachayut c yaksho prijmati kontinuum gipotezu to c ℵ1 displaystyle c aleph 1 ostannye chitayetsya yak alef odin Nastupni kardinalni chisla v poryadku zrostannya poznachayut ℵ1 ℵ2 displaystyle aleph 1 aleph 2 dots G Kantor doviv sho ne isnuye mnozhini najbilshoyi potuzhnosti tobto ne isnuye najbilshogo kardinalnogo chisla Gipoteza kontinuumaKontinuum gipoteza stverdzhuye sho ne isnuye mnozhini kardinalne chislo ℵ displaystyle aleph yakoyi roztashovane mizh ℵ0 displaystyle aleph 0 kardinalom mnozhini naturalnih chisel ta ℵ1 displaystyle aleph 1 kardinalom mnozhini dijsnih chisel tobto ℵ0 lt ℵ lt ℵ1 displaystyle aleph 0 lt aleph lt aleph 1 Div takozhPotuzhnist mnozhini Teorema Kantora Bernshtejna Kontinuum gipoteza Veliki kardinalni chislaDzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros