Ізольована точка

У математиці точка ${\displaystyle x}$ називається ізольованою точкою підмножини ${\displaystyle S}$ (у топологічному просторі ${\displaystyle X}$), якщо точка ${\displaystyle x}$ є елементом підмножини ${\displaystyle S}$ і існує такий окіл цієї точки ${\displaystyle x}$, який не містить жодних інших точок із даної підмножини ${\displaystyle S}$. Це еквівалентно тому, що сінґлетон (одноелементна множина) ${\displaystyle \{x\}}$ є відкритою множиною в топологічному просторі ${\displaystyle S}$ (розглядається як підпростір простору ${\displaystyle X}$). Інше еквівалентне формулювання: елемент ${\displaystyle x}$ підмножини ${\displaystyle S}$ є ізольованою точкою підмножини ${\displaystyle S}$ тоді й лише тоді, коли він не є граничною точкою підмножини ${\displaystyle S}$.

"${\displaystyle 0}$" ― ізольована точка множини ${\displaystyle A=\{0\}\cup [1,2]}$.

Якщо простір ${\displaystyle X}$ є евклідовим простором (або будь-яким іншим метричним простором), то елемент ${\displaystyle x}$ підмножини ${\displaystyle S}$ є ізольованою точкою підмножини ${\displaystyle S}$, якщо навколо ${\displaystyle x}$ існує така відкрита куля, яка містить лише скінченну кількість елементів підмножини ${\displaystyle S}$.

Пов'язані означення

Множина, яка складається лише з ізольованих точок, називається дискретною множиною (див. також дискретний простір). Будь-яка дискретна підмножина ${\displaystyle S}$ евклідового простору має бути зліченною, оскільки ізоляція будь-якої її точки разом із щільністю множини раціональних чисел у множині дійсних числах, означає, що точки підмножини ${\displaystyle S}$ можна відобразити в набір точок з раціональними координатами, яких є лише зліченно багато. Однак, не кожна зліченна множина є дискретною, канонічним прикладом є множина раціональних чисел у звичайній евклідовій метриці.

Множина, яка не має ізольованої точки, називається множиною ^[en] (будь-який окіл точки містить інші точки множини). Замкнута множина без ізольованої точки називається досконалою множиною (вона включає всі граничні точки, і жодна з них не ізольована на ній).

Кількість ізольованих точок є ^[en], тобто, якщо два топологічні простори ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ є гомеоморфними, то кількість ізольованих точок у кожному просторі є однаковою.

Приклади

Стандартні приклади

Топологічні простори в наступних трьох прикладах розглядаються як підпростори вісі дійсних чисел в стандартній топології.

• Для множини ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$ точка ${\displaystyle 0}$ є ізольованою точкою.
• Для множини ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}}$, кожна з точок ${\displaystyle 1/k}$ є ізольованою точкою, але точка ${\displaystyle 0}$ не є ізольованою точкою, оскільки в підмножини ${\displaystyle S}$ є інші точки, які як завгодно близькі до точки ${\displaystyle 0}$.
• Множина ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$ натуральних чисел є дискретною множиною.

У топологічному просторі ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ з топологією ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{a\},X\}}$, елемент ${\displaystyle a}$ є ізольованою точкою, навіть якщо ${\displaystyle a}$ належить до замикання елемента ${\displaystyle \{b\}}$ (і тому в якомусь значенні є "близьким" до ${\displaystyle b}$). Така ситуація є неможливою в гаусдофовому просторі.

Лема Морса стверджує, що невироджені критичні точки деяких функцій є ізольованими.

Два нелогічних приклади

Розглянемо набір точок з дійсного інтервалу ${\displaystyle (0,1)}$ такий, в якому кожна цифра ${\displaystyle x_{i}}$ їх двійкового представлення задовольняє наступним умовам:

• Або ${\displaystyle x_{i}=0}$ або ${\displaystyle x_{i}=1}$.
• ${\displaystyle x_{i}=1}$ лише для скінченної кількості індексів ${\displaystyle i}$.
• Якщо ${\displaystyle m}$ позначає найбільший індекс такий, що ${\displaystyle x_{m}=1}$, то ${\displaystyle x_{m-1}=0}$.
• Якщо ${\displaystyle x_{i}=1}$ і ${\displaystyle i<m}$, тоді виконується одна з наступних умов: ${\displaystyle x_{i-1}=1}$ або ${\displaystyle x_{i+1}=1}$.

Неформально ці умови означають, що кожна цифра двійкового представлення ${\displaystyle x}$, яка дорівнює ${\displaystyle 1}$, належить парі ${\displaystyle \dots 0110\dots }$, за винятком ${\displaystyle \dots 010\dots }$ в самому кінці.

Тепер ${\displaystyle F}$ ― це явна множина, що повністю складається з ізольованих точок, яка має нелогічну властивість, що замикання цієї множини є незліченною множиною.

Інший набір ${\displaystyle F}$ з такими ж властивостями можна отримати наступним чином. Нехай ${\displaystyle C}$ ― множина Кантора середніх третин, нехай ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ ― інтервали компонентів ${\displaystyle [0,1]\setminus C}$, і нехай ${\displaystyle F}$ ― множина, що включає по одній точці з кожного такого інтервалу ${\displaystyle I_{k}}$. Оскільки кожна точка інтервалу ${\displaystyle I_{k}}$ містить лише одну точку з множини ${\displaystyle F}$, то будь-яка точка множини ${\displaystyle F}$ є ізольованою точкою. Однак, якщо ${\displaystyle p}$ є будь-якою точкою в множині Кантора, то кожен окіл точки ${\displaystyle p}$ містить принаймні один інтервал ${\displaystyle I_{k}}$, а отже, принаймні одну точку з множини ${\displaystyle F}$. Звідси випливає, що кожна точка множини Кантора лежить у замиканні множини ${\displaystyle F}$, а отже, множина ${\displaystyle F}$ має незліченне замикання.

Див. також

• Ізольована точка кривої
• Точка дотику
• Гранична точка

Примітки

1. Gomez-Ramirez, Danny (2007), An explicit set of isolated points in R with uncountable closure, Matemáticas: Enseñanza universitaria, Escuela Regional de Matemáticas. Universidad del Valle, Colombia, 15: 145—147

Зовнішні посилання

Weisstein, Eric W. Isolated Point(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.