Лема Морса — твердження, яке описує будову ростка гладкої дійсної функції у невиродженій критичній точці. Названа на честь видатного американського математика Марстона Морса.
Нехай — функція класу , де , що має точку своєю невиродженою критичною точкою, тобто в цій точці диференціал овертається в нуль, а матриця Гессе відмінна від нуля. Тоді в деякому околі точки існує така система -гладких локальних координат (карта) з початком у точці , що для всіх має місце рівність
|
При цьому число , що визначається квадратичної частини ростка в точці , є критичної точки функції .
- Доведення
Линійна частина функції в точці рівна нулю, а квадратична частина невирождена. Зробимо лінійну заміну змінних , що зводить квадратичну частину до канонічного вигляду .
Потім, двічі застосовуючи лему Адамара, представимо у вигляді
- ,
де всі — функциї класу , що обертаються в нуль в точці . Заміна змінних , що визначена у деякому околі точки , приводить до необхідної форми.
Варіації та узагальнення
- Теорема Тужрона.
В околі критичної точки скінченної існує система координат, в якій гладка функція має вигляд многочлена ступеня (як можна взяти многочлен Тейлора функції у точці у вихідних координатах). У разі невиродженої критичної точки кратність , і теорема Тужрона перетворюється на лему Морса.
- Лема Морса з параметрами або лема про розщеплення особливості.
Нехай — гладка функція, що має початок координат своєю критичною точкою, невиродженою за змінними . Тоді в околі точки існують гладкі координати, в яких
де — деяка гладка функція. Це твердження дозволяє звести дослідження особливості (критичної точки) функції від змінних до дослідження особливості функції від меншого числа змінних (а саме, від числа змінних, рівного корангу гессіана вихідної функції).
Література
- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.
- Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — .(рос.)
- Хирш М. Дифференциальная топология, — Будь-яке видання.
- Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
- Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
- Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lema Morsa tverdzhennya yake opisuye budovu rostka gladkoyi dijsnoyi funkciyi u nevirodzhenij kritichnij tochci Nazvana na chest vidatnogo amerikanskogo matematika Marstona Morsa Nehaj f Rn R displaystyle f mathbb R n to mathbb R funkciya klasu Cr 2 displaystyle C r 2 de r 1 displaystyle r geq 1 sho maye tochku 0 Rn displaystyle 0 in mathbb R n svoyeyu nevirodzhenoyu kritichnoyu tochkoyu tobto v cij tochci diferencial f x displaystyle frac partial f partial x overtayetsya v nul a matricya Gesse 2f x2 displaystyle Bigl frac partial 2 f partial x 2 Bigr vidminna vid nulya Todi v deyakomu okoli U displaystyle U tochki 0 displaystyle 0 isnuye taka sistema Cr displaystyle C r gladkih lokalnih koordinat karta x1 x2 xn displaystyle x 1 x 2 ldots x n z pochatkom u tochci 0 displaystyle 0 sho dlya vsih x U displaystyle x in U maye misce rivnist f x f 0 x12 xk2 xk 12 xn2 displaystyle f x f 0 x 1 2 dots x k 2 x k 1 2 dots x n 2 Pri comu chislo k displaystyle k sho viznachayetsya kvadratichnoyi chastini rostka f displaystyle f v tochci 0 displaystyle 0 ye kritichnoyi tochki 0 displaystyle 0 funkciyi f displaystyle f Dovedennya Linijna chastina funkciyi f x displaystyle f x v tochci 0 displaystyle 0 rivna nulyu a kvadratichna chastina nevirozhdena Zrobimo linijnu zaminu zminnih x1 xn displaystyle x 1 ldots x n sho zvodit kvadratichnu chastinu do kanonichnogo viglyadu x12 xk2 xk 12 xn2 displaystyle x 1 2 dots x k 2 x k 1 2 dots x n 2 Potim dvichi zastosovuyuchi lemu Adamara predstavimo f x displaystyle f x u viglyadi f x f 0 x12 1 h1 x xk2 1 hk x xk 12 1 hk 1 x xn2 1 hn x displaystyle f x f 0 x 1 2 1 h 1 x dots x k 2 1 h k x x k 1 2 1 h k 1 x dots x n 2 1 h n x de vsi hi x displaystyle h i x funkciyi klasu Cr displaystyle C r sho obertayutsya v nul v tochci 0 displaystyle 0 Zamina zminnih xi xi1 hi x displaystyle x i to x i sqrt 1 h i x sho viznachena u deyakomu okoli tochki 0 displaystyle 0 privodit f x displaystyle f x do neobhidnoyi formi Variaciyi ta uzagalnennyaTeorema Tuzhrona V okoli kritichnoyi tochki 0 displaystyle 0 skinchennoyi m displaystyle mu isnuye sistema koordinat v yakij gladka funkciya f x displaystyle f x maye viglyad mnogochlena Pm 1 x displaystyle P mu 1 x stupenya m 1 displaystyle mu 1 yak Pm 1 x displaystyle P mu 1 x mozhna vzyati mnogochlen Tejlora funkciyi f x displaystyle f x u tochci 0 displaystyle 0 u vihidnih koordinatah U razi nevirodzhenoyi kritichnoyi tochki kratnist m 1 displaystyle mu 1 i teorema Tuzhrona peretvoryuyetsya na lemu Morsa Lema Morsa z parametrami abo lema pro rozsheplennya osoblivosti Nehaj f x1 xn y1 ym Rn m R displaystyle f x 1 ldots x n y 1 ldots y m mathbb R n m to mathbb R gladka funkciya sho maye pochatok koordinat 0 displaystyle 0 svoyeyu kritichnoyu tochkoyu nevirodzhenoyu za zminnimi x1 xn displaystyle x 1 ldots x n Todi v okoli tochki 0 displaystyle 0 isnuyut gladki koordinati v yakih f x y a1x12 anxn2 f0 y1 ym ai 1 displaystyle f x y alpha 1 x 1 2 cdots alpha n x n 2 f 0 y 1 ldots y m quad alpha i pm 1 de f0 displaystyle f 0 deyaka gladka funkciya Ce tverdzhennya dozvolyaye zvesti doslidzhennya osoblivosti kritichnoyi tochki funkciyi vid n m displaystyle n m zminnih do doslidzhennya osoblivosti funkciyi vid menshogo chisla zminnih a same vid chisla zminnih rivnogo korangu gessiana vihidnoyi funkciyi LiteraturaArnold V I Varchenko A N Gusejn Zade S M Osobennosti differenciruemyh otobrazhenij Bud yake vidannya Matematicheskij analiz 10 e M MCNMO 2019 T 1 564 s ISBN 978 5 4439 4029 8 ros Hirsh M Differencialnaya topologiya Bud yake vidannya Takens F A note on sufficiency of jets Inventiones Mathematicae vol 13 no 3 1971 pp 225 231 Samojlenko A M Ob ekvivalentnosti gladkoj funkcii polinomu Tejlora v okrestnosti kriticheskoj tochki konechnogo tipa Funkc analiz i ego pril 2 4 1968 str 63 69 Darinskij B M Sapronov Yu I Carev S L Bifurkaciya ekstremalej fredgolmovyh funkcionalov SMFN 12 M 2004 str 3 140