Досконала множина

Досконала множина — замкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що збігається з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.

Приклади

• Множина Кантора — ніде не щільна, досконала множина.
• Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку ${\displaystyle [0;1]}$ після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай ${\displaystyle \alpha }$ - довільне додатне число менше 1. Спочатку видалимо з ${\displaystyle [0;1]}$ всі точки відкритого інтервалу ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\alpha ;{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}\alpha \right)}$ довжини ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$. Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює ${\displaystyle {\frac {\alpha }{8}}}$. Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною ${\displaystyle {\frac {\alpha }{32}}}$. Після ${\displaystyle n}$ кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме ${\displaystyle \alpha \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +2^{-n}\right)}$, тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме ${\displaystyle \alpha }$. Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме ${\displaystyle 1-\alpha }$. Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.

Властивості

• Кожна непорожня досконала множина в евклідовому просторі має потужність континуум.
• Множина точок конденсації довільної множини - досконала множина.
• Теорема Кантора-Бендиксона стверджує, що кожна множина дійсних чисел є об'єднанням досконалої множини своїх точок конденсації та зліченної множини. (Тут мається на увазі множина тих точок конденсації, що належать множині, досконалість цієї множини розуміється по відношенню до початкової множини).
• Теорема Девіса стверджує, що кожна незліченна множина дійсних чисел містить досконалу підмножину. Але ця теорема доведена у припущенні аксіоми детермінованості, що суперечить аксіомі вибору.

Джерела

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)