Лінійно зв’язний простір

Лінійно зв'язний простір — топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати неперервною кривою.

Означення

• Розглянемо відрізок числової прямої ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ з визначеною на ньому стандартною топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок ${\displaystyle x,y\in X}$ знайдеться неперервне відображення ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ таке, що

  ${\displaystyle f(0)=x,\;f(1)=y.}$

• Нехай дана підмножина ${\displaystyle M\subset X}$. Тоді на ньому природним чином визначається топологія ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{M}}$, індукована ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Якщо простір ${\displaystyle \left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)}$ лінійно зв'язаний, то підмножина ${\displaystyle M}$ також називається лінійно зв'язаною у ${\displaystyle X}$.

Властивості

• Будь-який лінійно зв'язний простір є зв'язаним.
• Обернене твердження є невірним; наприклад замикання графіка функції ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}},\;x>0}$ є зв'язаним, але не лінійно зв'язаним (замикання окрім самого графіка функції містить також відрізок ${\displaystyle [-1,1]}$ на осі ординат і жодну точка цього відрізку не можна поєднати неперервною кривою із будь-якою точкою графіка).
• Неперервний образ лінійно зв'язного простору є лінійно зв'язним.
• Якщо простір X є лінійно зв'язним і ${\displaystyle x,\;y\in X}$, то фундаментальні групи ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;y)}$ є ізоморфними і цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$.

Лінійна зв'язність на числовій прямій

Будемо вважати, що ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — стандартна топологія числової прямої. Тоді

• Підмножина ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли

  ${\displaystyle \forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},}$

тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.

• Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є скінченним або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:

  ${\displaystyle (a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ).}$

• Підмножина числової прямої є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.

Узагальнення

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності ${\displaystyle k}$). Простір ${\displaystyle X}$ називається зв'язаним у розмірності ${\displaystyle k}$, якщо будь-яке відображення r-вимірної сфери ${\displaystyle S^{r}}$ в ${\displaystyle X}$, де ${\displaystyle r\leqslant k}$, є гомотопним сталому відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір є 0-зв'язним простором, тобто будь-яке відображення дискретної множини із двох точок (нульвимірної сфери) гомотопно сталому відображенню.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)