Комутант

Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Визначення

Комутатори

Комутатор елементів ${\displaystyle g\in G}$ і ${\displaystyle h\in G}$ — елемент ${\displaystyle [g,h]}$, що визначається за формулою:

${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}\,}$.

Комутант групи

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

${\displaystyle [G,G]=<\{[g,h]\,|\,(g,h)\in G^{2}\}>}$

• Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

• Комутант є характеристичною і, відповідно, нормальною підгрупою.

Абелізація

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

${\displaystyle Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,}$

Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні ряди

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

${\displaystyle \ G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbb {N} }$

Групи ${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$ називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується ${\displaystyle \ G^{(n)}=\{e\},}$ то група G називається розв'язною.

Властивості

• Комутант групи є характеристичною підгрупою, а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.

Див. також

• Комутатор (математика)

Література

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)