CW-комплекс — тип топологічних просторів, запропонований Джоном Уайтхедом для потреб [en]. Цей клас просторів ширший і має деякі кращі категоріальні властивості, ніж симпліційні комплекси, але так само зберігає комбінаторну природу, яка дозволяє обчислення (часто за допомогою значно меншого комплексу).
Означення
Грубо кажучи, CW-комплекс будується з базових блоків — клітин. Точне визначення вказує, як ці клітини можна топологічно склеювати між собою.
n-вимірна замкнена клітина є образом n-вимірної замкненої кулі. Наприклад, симплекс є замкненою клітиною, і більш загально, опуклий багатогранник є замкненою клітиною. n-вимірна відкрита клітина — топологічний простір, гомеоморфний відкритій кулі. 0-вимірна відкрита (та замкнена) клітина є сінґлетоном.
Для формального означення, нехай і позначають відповідно замкнуту одиничну кулю, відкриту одиничну кулю і одиничну сферу відповідних розмірностей. Для кожного нехай позначає індексуючу множину і — для кожного є неперервним відображенням образ якого називається замкненою клітиною у X (а образи при цих відображеннях називаються відкритими клітинами).
CW-комплексом називається гаусдорфів простір X із вказаними індексуючими множинами і відображеннями, що задовольняє додаткові умови:
- Відкриті клітини утворюють розбиття простору X, тобто
- Всі відображення є ін'єктивними і є непустою множиною лише коли і
- n-кістяком CW-комплекса називається підпростір Для всіх і образи одиничних сфер належать кістякам відповідних розмірів, тобто
- Для всіх і множина є підмножиною скінченного об'єднання множин виду
- Підмножина є замкнутою підмножиною простору X, якщо і тільки якщо для всіх і множина є замкнутою підмножиною у
Індуктивне означення CW-комплексів
Якщо найбільша розмірність клітин CW-комплексу є рівною n, то число n називається розмірністю CW-комплексу. Якщо розмірності його клітин не мають обмеження зверху, то комплекс називається нескінченновимірним.
n-кістяк CW-комплекса — об'єднання всіх клітин розмірності не більше n.
Якщо об'єднання множини клітин замкнене, то воно теж є CW-комплексом, і називається підкомплексом. Отож, n-кістяк — найбільший підкомплекс розмірності n чи менше. Підкомплекс називається скінченним, якщо він є об'єднанням скінченної кількості клітин.
Відображення між CW-комплексами називається клітинним відображенням, якщо образ n-кістяка комплекса X міститься у n-кістяку комплекса Y.
CW-комплекс часто конструюється шляхом визначення його кістяків індуктивно. Почнемо, взявши за 0-кістяк деякий дискретний простір. Далі приклеїмо 1-клітини до 0-кістяку. Тут 1-клітини приклеюються до точок 0-кістяка неперервним відображенням з одиничних 0-сфер, тобто, . Визначимо 1-кістяк як фактор-простір, отриманий з об'єднання 0-кістяка та 1-клітин ототожненням точок границі 1-клітин фактор-відображенням точок границі 1-клітин в 1-клітини. В загальному випадку, взявши (n − 1)-кістяк і набір замкнених n-клітин, n-клітини приклеюються до (n − 1)-кістяка деяким неперервним відображенням з , і ототожненням шляхом вказання відображень з границі кожної n-клітини у (n − 1)-кістяк. n-кістяк є фактор-простором, отриманим з об'єднання (n − 1)-кістяків і замкнених n-клітин ототожненням кожної точки границі n-клітини з її образом.
Властивості
- Нехай X — CW-комплекс і Y — довільний топологічний простір. Тоді відображення є неперервним тоді і тільки тоді коли неперервними є відображення для всіх і
- Для всіх і множина є підмножиною скінченного підкомплексу у X (а не лише підмножиною скінченного об'єднання відкритих клітин як у пункті 4 означення).
- Кожна лінійна компонента зв'язності CW-комплекса є підкомплексом.
- Зв'язаний CW-комплекс є лінійно зв'язаним.
- Кожна компактна підмножина CW-комплекса міститься у скінченному підкомплексі.
- Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то фактор-простір X/Y теж є CW-комплексом.
- Якщо всі простори є CW-комплексами то і букет просторів є CW-комплексом, якщо всі виділені точки є 0-клітинами.
- Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то добуток теж є CW-комплексом. В загальному випадку проте добуток із стандартною топологією не буде CW-комплексом. Тому на декартовому добутку X і Y часто вводять альтернативну слабку топологію при якій підмножина є замкнутою тоді і тільки тоді коли всі множини ,будуть замкнутими у
- Якщо X і Y є CW-комплексами і або хоча б один із них є локально компактним простором або обидва містять не більш, ніж зліченну кількість клітин, то смеш-добуток теж є CW-комплексом. Для загального випадку можна отримати CW-комплекс ввівши топологію похідну від слабкої топології для добутку.
- Якщо X є CW-комплексом і Y — підкомплексом, то виконується властивість абсолютного гомотопного продовження: якщо для будь-якого топологічного простору Z є неперервне відображення і гомотопія для якої то існує також гомотопія для якої і
- Накриваючий простір CW-комплекса є CW-комплексом.
- Теорема Вайтхеда: відображення між CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли воно породжує ізоморфізми на усіх групах гомотопій.
- Теорема про клітинне наближення: якщо є неперервним відображенням між CW-комплексами і для деякого підкомплекса у (можливо порожнього) обмеження є клітинним відображенням, то існує таке клітинне відображення , що є гомотопним до відносно
Приклади
- Простір є гомотопічно еквівалентним CW-комплексу (оскільки він є стягуваним) але на ньому неможливо ввести структуру CW-комплексу (оскільки всі CW-комплекси є локально стягуваними).
- Гавайська сережка — приклад топологічного простору, що гомотопно не є еквівалентним ніякому CW-комплексу.
- Ще одним прикладом простору, що не є гомотопно еквівалентним CW-комплексу є підпростір на дійсній прямій елементами якого є числа 0 і із індукованою топологією. Цей підпростір є компактним і кожна його точка є окремою лінійною компонентою. Тоді кожен гомотопно еквівалентний простір має мати нескінченну кількість лінійних компонент. Якщо f є гомотопною еквівалентністю із V на CW-комплекс X, то f(V) буде компактною множиною і тому буде міститися у скінченному підкомплексі. Звідси також f(V) буде підмножиною скінченного об'єднання лінійних компонент X і тому f не може бути гомотопною еквівалентністю.
- Будь-який многогранник природним чином наділяється структурою CW-комплексу, а граф — одновимірного CW-комплексу.
- Якщо X є CW-комплексом, то і його надбудова, (редукована надбудова) і (редукований конус) є CW-комплексами.
- N-вимірна сфера допускає клітинну структуру з однією клітиною розмірності 0 і однією n-вимірною клітиною (оскільки n-вимірна сфера є гомеоморфною фактор-простору n-вимірного кулі по її границі). Інше клітинне розбиття використовує той факт, що вкладення «екватора» ділить сферу на дві n-вимірні клітини (верхню і нижню півсфери). За індукцією звідси можна одержати клітинне розбиття n-вимірної сфери з двома клітинами в кожній розмірності від 0 до n, а застосування конструкції прямої границі дозволяє отримати клітинне розбиття сфери .
- Дійсний проективний простір допускає клітинну структуру з однією клітиною в кожній розмірності, а — з однією клітиною в кожній парній розмірності.
- Нескінченновимірний гільбертів простір не є CW-комплексом. Такий простір є простором Бера і тому не є об'єднанням зліченної множини n-кістяків, кожен з яких є замкнутою підмножиною із пустою внутрішністю.
- Грассманіан допускає розбиття на клітини, що називаються клітинами Шуберта.
- Для будь-якого компактного гладкого многовида можна побудувати гомотопічно еквівалентний йому CW-комплекс (наприклад за допомогою функції Морса).
Див. також
Література
- Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN .
- Lundell, A. T.; Weingram, S. (1970). The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. ISBN .
- Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
CW kompleks tip topologichnih prostoriv zaproponovanij Dzhonom Uajthedom dlya potreb en Cej klas prostoriv shirshij i maye deyaki krashi kategorialni vlastivosti nizh simplicijni kompleksi ale tak samo zberigaye kombinatornu prirodu yaka dozvolyaye obchislennya chasto za dopomogoyu znachno menshogo kompleksu OznachennyaGrubo kazhuchi CW kompleks buduyetsya z bazovih blokiv klitin Tochne viznachennya vkazuye yak ci klitini mozhna topologichno skleyuvati mizh soboyu n vimirna zamknena klitina ye obrazom n vimirnoyi zamknenoyi kuli Napriklad simpleks ye zamknenoyu klitinoyu i bilsh zagalno opuklij bagatogrannik ye zamknenoyu klitinoyu n vimirna vidkrita klitina topologichnij prostir gomeomorfnij vidkritij kuli 0 vimirna vidkrita ta zamknena klitina ye singletonom Dlya formalnogo oznachennya nehaj D n B n displaystyle Delta n B n i S n displaystyle S n poznachayut vidpovidno zamknutu odinichnu kulyu vidkritu odinichnu kulyu i odinichnu sferu vidpovidnih rozmirnostej Dlya kozhnogo n 0 displaystyle n geqslant 0 nehaj A n displaystyle A n poznachaye indeksuyuchu mnozhinu i f a D n X displaystyle varphi alpha Delta n to X dlya kozhnogo a A n displaystyle alpha in A n ye neperervnim vidobrazhennyam obraz yakogo nazivayetsya zamknenoyu klitinoyu u X a obrazi B n displaystyle B n pri cih vidobrazhennyah nazivayutsya vidkritimi klitinami CW kompleksom nazivayetsya gausdorfiv prostir X iz vkazanimi indeksuyuchimi mnozhinami i vidobrazhennyami sho zadovolnyaye dodatkovi umovi Vidkriti klitini utvoryuyut rozbittya prostoru X tobto X n 0 a A n f a B n displaystyle X bigcup n geqslant 0 alpha in A n varphi alpha B n Vsi vidobrazhennya f a B n displaystyle varphi alpha B n ye in yektivnimi i f a B n f b B m displaystyle varphi alpha B n cap varphi beta B m ye nepustoyu mnozhinoyu lishe koli m n displaystyle m n i a b displaystyle alpha beta n kistyakom CW kompleksa nazivayetsya pidprostir X n 0 m n a A m f a B m displaystyle X n bigcup 0 leqslant m leqslant n alpha in A m varphi alpha B m Dlya vsih n 1 displaystyle n geqslant 1 i a A n displaystyle alpha in A n obrazi odinichnih sfer nalezhat kistyakam vidpovidnih rozmiriv tobto f a S n 1 X n 1 displaystyle varphi alpha S n 1 subset X n 1 Dlya vsih n 0 displaystyle n geqslant 0 i a A n displaystyle alpha in A n mnozhina f a D n displaystyle varphi alpha Delta n ye pidmnozhinoyu skinchennogo ob yednannya mnozhin vidu f b B m displaystyle varphi beta B m Pidmnozhina V X displaystyle V subset X ye zamknutoyu pidmnozhinoyu prostoru X yaksho i tilki yaksho dlya vsih n 0 displaystyle n geqslant 0 i a A n displaystyle alpha in A n mnozhina f a 1 V displaystyle varphi alpha 1 V ye zamknutoyu pidmnozhinoyu u D n displaystyle Delta n Induktivne oznachennya CW kompleksiv Yaksho najbilsha rozmirnist klitin CW kompleksu ye rivnoyu n to chislo n nazivayetsya rozmirnistyu CW kompleksu Yaksho rozmirnosti jogo klitin ne mayut obmezhennya zverhu to kompleks nazivayetsya neskinchennovimirnim n kistyak CW kompleksa ob yednannya vsih klitin rozmirnosti ne bilshe n Yaksho ob yednannya mnozhini klitin zamknene to vono tezh ye CW kompleksom i nazivayetsya pidkompleksom Otozh n kistyak najbilshij pidkompleks rozmirnosti n chi menshe Pidkompleks nazivayetsya skinchennim yaksho vin ye ob yednannyam skinchennoyi kilkosti klitin Vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y mizh CW kompleksami nazivayetsya klitinnim vidobrazhennyam yaksho obraz n kistyaka kompleksa X mistitsya u n kistyaku kompleksa Y CW kompleks chasto konstruyuyetsya shlyahom viznachennya jogo kistyakiv induktivno Pochnemo vzyavshi za 0 kistyak deyakij diskretnij prostir Dali prikleyimo 1 klitini do 0 kistyaku Tut 1 klitini prikleyuyutsya do tochok 0 kistyaka neperervnim vidobrazhennyam z odinichnih 0 sfer tobto S 0 displaystyle S 0 Viznachimo 1 kistyak yak faktor prostir otrimanij z ob yednannya 0 kistyaka ta 1 klitin ototozhnennyam tochok granici 1 klitin faktor vidobrazhennyam tochok granici 1 klitin v 1 klitini V zagalnomu vipadku vzyavshi n 1 kistyak i nabir zamknenih n klitin n klitini prikleyuyutsya do n 1 kistyaka deyakim neperervnim vidobrazhennyam z S n 1 displaystyle S n 1 i ototozhnennyam shlyahom vkazannya vidobrazhen z granici kozhnoyi n klitini u n 1 kistyak n kistyak ye faktor prostorom otrimanim z ob yednannya n 1 kistyakiv i zamknenih n klitin ototozhnennyam kozhnoyi tochki granici n klitini z yiyi obrazom VlastivostiNehaj X CW kompleks i Y dovilnij topologichnij prostir Todi vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y ye neperervnim todi i tilki todi koli neperervnimi ye vidobrazhennya f f a D n Y displaystyle f circ varphi alpha Delta n to Y dlya vsih n 1 displaystyle n geqslant 1 i a A n displaystyle alpha in A n Dlya vsih n 0 displaystyle n geqslant 0 i a A n displaystyle alpha in A n mnozhina f a D n displaystyle varphi alpha Delta n ye pidmnozhinoyu skinchennogo pidkompleksu u X a ne lishe pidmnozhinoyu skinchennogo ob yednannya vidkritih klitin yak u punkti 4 oznachennya Kozhna linijna komponenta zv yaznosti CW kompleksa ye pidkompleksom Zv yazanij CW kompleks ye linijno zv yazanim Kozhna kompaktna pidmnozhina CW kompleksa mistitsya u skinchennomu pidkompleksi Yaksho X ye CW kompleksom i Y pidkompleksom to faktor prostir X Y tezh ye CW kompleksom Yaksho vsi prostori X a a A displaystyle X alpha alpha in A ye CW kompleksami to i buket prostoriv a X a displaystyle bigvee alpha X alpha ye CW kompleksom yaksho vsi vidileni tochki ye 0 klitinami Yaksho X i Y ye CW kompleksami i abo hocha b odin iz nih ye lokalno kompaktnim prostorom abo obidva mistyat ne bilsh nizh zlichennu kilkist klitin to dobutok X Y displaystyle X times Y tezh ye CW kompleksom V zagalnomu vipadku prote dobutok iz standartnoyu topologiyeyu ne bude CW kompleksom Tomu na dekartovomu dobutku X i Y chasto vvodyat alternativnu slabku topologiyu pri yakij pidmnozhina V X Y displaystyle V subset X times Y ye zamknutoyu todi i tilki todi koli vsi mnozhini f a f b 1 V displaystyle varphi alpha times varphi beta 1 V budut zamknutimi u D n D m displaystyle Delta n times Delta m Yaksho X i Y ye CW kompleksami i abo hocha b odin iz nih ye lokalno kompaktnim prostorom abo obidva mistyat ne bilsh nizh zlichennu kilkist klitin to smesh dobutok X Y displaystyle X wedge Y tezh ye CW kompleksom Dlya zagalnogo vipadku mozhna otrimati CW kompleks vvivshi topologiyu pohidnu vid slabkoyi topologiyi dlya dobutku Yaksho X ye CW kompleksom i Y pidkompleksom to vikonuyetsya vlastivist absolyutnogo gomotopnogo prodovzhennya yaksho dlya bud yakogo topologichnogo prostoru Z ye neperervne vidobrazhennya f X Z displaystyle f X to Z i gomotopiya G Y I Z displaystyle G Y times I to Z dlya yakoyi G Y 0 f Y displaystyle G Y times 0 f Y to isnuye takozh gomotopiya F X I Z displaystyle F X times I to Z dlya yakoyi F X 0 f displaystyle F X times 0 f i F Y I G displaystyle F Y times I G Nakrivayuchij prostir CW kompleksa ye CW kompleksom Teorema Vajtheda vidobrazhennya mizh CW kompleksami ye gomotopnoyu ekvivalentnistyu todi i tilki todi koli vono porodzhuye izomorfizmi na usih grupah gomotopij Teorema pro klitinne nablizhennya yaksho f X Y displaystyle f X to Y ye neperervnim vidobrazhennyam mizh CW kompleksami i dlya deyakogo pidkompleksa Z displaystyle Z u X displaystyle X mozhlivo porozhnogo obmezhennya f Z displaystyle f Z ye klitinnim vidobrazhennyam to isnuye take klitinne vidobrazhennya g X Y displaystyle g X to Y sho ye gomotopnim do f displaystyle f vidnosno Z displaystyle Z PrikladiProstir r e 2 p i 8 0 r 1 8 Q C displaystyle re 2 pi i theta 0 leq r leq 1 theta in mathbb Q subset mathbb C ye gomotopichno ekvivalentnim CW kompleksu oskilki vin ye styaguvanim ale na nomu nemozhlivo vvesti strukturu CW kompleksu oskilki vsi CW kompleksi ye lokalno styaguvanimi Gavajska serezhka priklad topologichnogo prostoru sho gomotopno ne ye ekvivalentnim niyakomu CW kompleksu She odnim prikladom prostoru sho ne ye gomotopno ekvivalentnim CW kompleksu ye pidprostir V displaystyle V na dijsnij pryamij elementami yakogo ye chisla 0 i 1 n n N displaystyle 1 n n in mathbb N iz indukovanoyu topologiyeyu Cej pidprostir ye kompaktnim i kozhna jogo tochka ye okremoyu linijnoyu komponentoyu Todi kozhen gomotopno ekvivalentnij prostir maye mati neskinchennu kilkist linijnih komponent Yaksho f ye gomotopnoyu ekvivalentnistyu iz V na CW kompleks X to f V bude kompaktnoyu mnozhinoyu i tomu bude mistitisya u skinchennomu pidkompleksi Zvidsi takozh f V bude pidmnozhinoyu skinchennogo ob yednannya linijnih komponent X i tomu f ne mozhe buti gomotopnoyu ekvivalentnistyu Bud yakij mnogogrannik prirodnim chinom nadilyayetsya strukturoyu CW kompleksu a graf odnovimirnogo CW kompleksu Yaksho X ye CW kompleksom to i jogo nadbudova redukovana nadbudova i redukovanij konus ye CW kompleksami N vimirna sfera dopuskaye klitinnu strukturu z odniyeyu klitinoyu rozmirnosti 0 i odniyeyu n vimirnoyu klitinoyu oskilki n vimirna sfera ye gomeomorfnoyu faktor prostoru n vimirnogo kuli po yiyi granici Inshe klitinne rozbittya vikoristovuye toj fakt sho vkladennya ekvatora S n 1 S n displaystyle S n 1 to S n dilit sferu na dvi n vimirni klitini verhnyu i nizhnyu pivsferi Za indukciyeyu zvidsi mozhna oderzhati klitinne rozbittya n vimirnoyi sferi z dvoma klitinami v kozhnij rozmirnosti vid 0 do n a zastosuvannya konstrukciyi pryamoyi granici dozvolyaye otrimati klitinne rozbittya sferi S displaystyle S infty Dijsnij proektivnij prostir R P n displaystyle mathbb RP n dopuskaye klitinnu strukturu z odniyeyu klitinoyu v kozhnij rozmirnosti a C P n displaystyle mathbb CP n z odniyeyu klitinoyu v kozhnij parnij rozmirnosti Neskinchennovimirnij gilbertiv prostir ne ye CW kompleksom Takij prostir ye prostorom Bera i tomu ne ye ob yednannyam zlichennoyi mnozhini n kistyakiv kozhen z yakih ye zamknutoyu pidmnozhinoyu iz pustoyu vnutrishnistyu Grassmanian dopuskaye rozbittya na klitini sho nazivayutsya klitinami Shuberta Dlya bud yakogo kompaktnogo gladkogo mnogovida mozhna pobuduvati gomotopichno ekvivalentnij jomu CW kompleks napriklad za dopomogoyu funkciyi Morsa Div takozhAbstraktnij klitinnij kompleksLiteraturaHatcher Allen 2002 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 0 521 79540 0 Lundell A T Weingram S 1970 The topology of CW complexes Van Nostrand University Series in Higher Mathematics ISBN 0 442 04910 2 Maunder C R F 1970 Algebraic Topology London Van Nostrand Reinhold ISBN 0 486 69131 4