Простір Бера

Берівський простір — вид топологічних просторів, названий на честь французького математика Рене-Луї Бера.

Нехай ${\displaystyle (X,\tau )}$ — топологічний простір. Тоді ${\displaystyle X}$ називається берівським простором якщо перетин зліченної кількості відкритих щільних множин буде щільною підмножиною ${\displaystyle X}$.

Приклади

• Простір дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і загалом кожен евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є простором Бера.
• Кожен дискретний простір є берівським простором.
• Довільний повний метричний простір і локально компактний гаусдорфів простір є просторами Бера.
• Множина Кантора є берівським простором.

Властивості

Нехай ${\displaystyle (X,\tau )}$ — топологічний простір. Наступні твердження є рівносильними:

• ${\displaystyle X}$ є берівським простором,
• жодна відкрита непуста підмножина ${\displaystyle X}$ не є множиною першої категорії,
• Множина внутрішніх точок зліченної суми замкнутих ніде не щільних множин є пустою,
• для кожних замкнутих множин ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \subseteq X}$, якщо ${\displaystyle {\rm {int}}{\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset }$, то ${\displaystyle {\rm {int}}(F_{i})\neq \emptyset }$ для деякого ${\displaystyle i}$.

Див. також

• Множина першої категорії
• Ніде не щільна множина