Букет просторів

Букет просторів — топологічний простір, який інтуїтивно можна отримати склеюванням декількох топологічних просторів по одній точці в кожному просторі. Букети просторів часто використовуються в алгебричній топології для обчислень фундаментальних груп і груп гомологій.

Означення

Букет ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ двох просторів ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$ із виділеними точками ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}\in X_{2}}$ можна визначити як фактор-простір диз'юнктного об'єднання ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}=(X_{1}\amalg X_{2})/{\sim },}$

де ${\displaystyle \sim }$ позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$. У цьому відношенні всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать дві точки ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$.

Подібним чином визначається букет довільної множини просторів із виділеними точками ${\displaystyle \{(X_{\alpha },x_{\alpha })\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$

${\displaystyle \bigvee _{\alpha }X_{\alpha }=\coprod _{\alpha }X_{\alpha }/{\sim },}$

де ${\displaystyle \sim }$ позначає мінімальне відношення еквівалентності таке, що ${\displaystyle x_{\alpha }\sim x_{\beta }}$ для всіх ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$. Як і вище, для цього відношення всі класи еквівалентності складаються з однієї точки за винятком одного, до якого належать всі виділені точки ${\displaystyle x_{\alpha }}$.

Букет загалом залежить від вибору виділених точок і природним чином є простором з виділеною точкою.

Опис через категорії

Букет можна розуміти як кодобуток в категорії топологічних просторів з виділеною точкою. Крім того, букет можна розглядати як схеми X < {•} > Y в категорії топологічних просторів, де {•} позначає простір з однієї точки.

Приклади

Букет двох кіл з виділеними точками

• Букет двох кіл з виділеними точками є гомеоморфним «вісімці» (див. рисунок).
• Букет з двох сфер (розмірності 2) зображений на нижньому рисунку.
• В теорії гомотопій важливою конструкцією є ідентифікація точок, що лежать на деякому екваторі n-сфери ${\displaystyle S^{n}}$. Отриманий при цьому простір є букетом двох сфер ${\displaystyle S^{n}}$:

${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}}$

Властивості

• Як бінарна операція, побудова букета є асоціативною і комутативною (з точністю до ізоморфізму).
• Якщо відмічені точки допускають однозв'язні околи, то фундаментальна група букета ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ ізоморфна вільному добутку фундаментальних груп ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$. Це твердження випливає з теореми Зейферта — ван Кампена.
• Нехай X є букетом двох просторів K і L з виділеними точками p і q і до того ж виділені точки є деформаційними ретрактами для деяких своїх околів U ⊂ K і V ⊂ L. Остання властивість означає, що наприклад відображення ${\displaystyle \operatorname {Id} _{U}:\operatorname {Id} _{U}(x)=x,\;\forall x\in U}$ є гомотоптим сталому відображенню, що для всіх елементів U приймає значення p і подібно для L і q. При цих припущеннях справедливою є рівність для редукованих гомологічних груп:

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L).}$

Зокрема для прикладів розглянутих вище:

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(S^{1}\vee S^{1}\right)\cong \left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=1\\0&{\mbox{if }}n\neq 1\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong =\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &n=2\\0&{\mbox{if }}n\neq 2\end{matrix}}\right.}$

• Подібне співвідношення є справедливим і для відносних гомологічних груп:

${\displaystyle H_{n}(K\vee L,p=q)\cong H_{n}(K,p)\oplus H_{n}(L,q).}$

Див. також

• Смеш-добуток

Література

• Dold, Albrecht (1980). Lectures on algebraic topology. Т. 200 (вид. 2nd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 0606196.
• Vick, James W. (1994), , Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, ISBN , архів оригіналу за 10 серпня 2020, процитовано 27 квітня 2017