Стягуваний простір

Стягуваний простір — топологічний простір, гомотопно еквівалентний точці. Ця умова рівнозначна тому, що тотожне відображення на ${\displaystyle X}$ є гомотопним постійному.

Простори A, B, і C є стягуваним; простори D, E, і F не є стягуваними.

Локально стягуваний простір — топологічний простір, кожна точка якого має базу з стягуваних околів. Еквівалентно якщо для кожної точки ${\displaystyle x\in X}$ і довільної відкритої підмножини ${\displaystyle V\ni x}$ простору ${\displaystyle X}$, існує відкрита множина ${\displaystyle U\ni x}$ така що ${\displaystyle U\subseteq V}$ і ${\displaystyle U}$ є стягуваним простором у топології індукованій від ${\displaystyle X}$.

Властивості

• Простір ${\displaystyle X}$ є стягуваним тоді і тільки тоді, коли існує ${\displaystyle x_{0}\in X}$ таке, що ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ — деформаційний ретракт простору ${\displaystyle X}$.
• Стягуваний простір завжди є однозв'язним; обернене твердження, в загальному випадку, не є правильним, стягуваність є сильнішим обмеженням, ніж однозв'язність.
• Будь-яке неперервне відображення стягуваних просторів є гомотопною еквівалентністю. Два будь-яких неперервних відображень довільного простору в стягуваний простір є гомотопно еквівалентними; навпаки якщо два будь-які неперервні відображення в з деякого простору в ${\displaystyle X}$ є гомотопно еквівалентними, то ${\displaystyle X}$ — стягуваний простір.
• Конус ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ для даного простору ${\displaystyle X}$ — стягуваний простір, таким чином, будь-який простір ${\displaystyle X}$ може бути вкладеним в стягуваний простір і відповідно не кожен підпростір стягуваного простору є стягуваним. Крім того, ${\displaystyle X}$ є стягуваним тоді і тільки тоді, коли існує ретракція ${\displaystyle \mathrm {C} X\to X}$.

Приклади і контрприклади

• Прикладами стягуваних просторів є ${\displaystyle n}$ — вимірний дійсний простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, довільна опукла підмножина евклідового простору, зокрема - ${\displaystyle n}$-вимірна куля.

• Сфера в нескінченновимірному гільбертовому просторі є стягуваною, але при цьому ${\displaystyle n}$-вимірні сфери не є стягуваними. Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle n}$ -вимірної сфери в стягуваний простір можна неперервно на ${\displaystyle n+1}$ -мірну куля.

• Інші приклади стягуюваних просторів — (тривимірний многовид, не гомеоморфний ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), многовид Мазура (чотиривимірний гладкий многовид з краєм, що не є дифеоморфним чотиривимірній кулі).

• Всі многовиди і CW-комплекси є локально стягуваними, але не є стягуваними в загальному випадку.
• Локально стягувані простори не обов'язково є стягуваними. Прикладом є така підмножина ${\displaystyle Y\subset \mathbb {R} ^{2}}$ з індукованою топологією: ${\displaystyle Y=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{1/n\}\times [0,1]\bigcup \{0\}\times [0,1]\bigcup [0,1]\times \{0\}}$ (див графік справа).

Література

• О. Пришляк  — К., 2013. — 83 с.
• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971. — С. 39-42.