Диференціальні форми в електромагнетизмі

Диференціальні форми в електромагнетизмі — одне з можливих математичних формулювань класичної електродинаміки за допомогою диференціальних форм в чотиривимірному просторі-часі.

Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого можуть бути описані класична електродинаміка та калібрувальна теорія. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

У цих позначеннях рівняння Максвелла можуть бути дуже компактно записані як

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$,

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}$,

де ${\displaystyle *}$ — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описана геометрія загальної калібрувальної теорії.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ також називається 2-формою Максвелла.

Джерела

• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы [ 1 лютого 2019 у Wayback Machine.], МЦНМО, 2002. (рос.)