Ранг матриці — це максимальна кількість її лінійно незалежних стовпців (рядків). Це число дорівнює розмірності векторного простору, породженого (або натягнутого) її стовпцями (рядками). Ранг матриці є однією з її фундаментальних характеристик.
Основні означення
Лінійно незалежна підсистема системи векторів називається максимальною лінійно незалежною підсистемою, якщо, приєднуючи до неї довільний вектор системи, будемо діставати лінійно залежну систему векторів. Кількість векторів у такій підсистемі даної системи векторів називається рангом цієї системи векторів.
Ранг системи вектор-стовпців матриці називається стовпцевим рангом матрицi, аналогічно, ранг системи вектор-рядків матриці називається рядковим рангом матрицi.
Можна довести, що стовпцевий і рядковий ранги матриці збігаються. І їх спільне значення називається рангом матриці.
Позначення: ,
,
або
Кажуть, що матриця A розміру n×m має повний ранг, якщо її ранг дорівнює Дефектом матриці A називають різницю
Дефект матриці A позначають через
Рангом лінійного відображення або оператора називається розмірність його образу:
де
— розмірність векторного простору, а
— образ відображення.
Дефектом оператора називається розмірність його ядра:
де
— ядро відображення.
Обчислення рангу матриці
Загальний підхід до визначення рангу матриці полягає в тому, щоб звести її до більш простого вигляду, як правило, до рядкової ступінчастої форми за допомогою елементарних операцій над рядками. Ці операції над рядками не змінюють простір, породжений ними, отже, таким чином не змінюють ранг матриці. Ранг рядкової ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
Наприклад, матрицю
можна звести до рядкової ступінчастої форми за допомогою наступних елементарних операцій над рядками:
Отримана матриця має два ненульові рядки, тому ранг матриці A дорівнює 2.
Властивості
Нехай A — матриця розміру n×m і f — лінійне відображення, визначене цією матрицею.
- Тільки нульова матриця має нульовий ранг.
- f є ін'єкцією тоді і тільки тоді, коли A має ранг m (має повний стовпцевий ранг).
- f є сюр'єкцією тоді і тільки тоді, коли A має ранг n (має повний рядковий ранг).
- Якщо A є квадратною матрицею, то A є невиродженою матрицею тоді і тільки тоді, коли A має повний ранг. Також при повному ранзі f є бієкцією.
- Якщо B — матриця розміру m×k, то
- Якщо матриця B розміру m×k має ранг m, то
- Якщо матриця C розміру l×n має ранг n, то
- Ранг A дорівнює r тоді і тільки тоді, коли існують оборотні квадратні матриця X і Y порядків n і m відповідно, такі що
- де Ir — одинична матриця порядку r.
- Нерівність Сильвестра для рангів: якщо A — матриця розміру n×m і B — матриця розміру m×k, то
- Нерівність Фробеніуса для рангів: якщо матриці AB, ABC і BC визначені, то
- Якщо B — матриця того ж розміру, що і A, то
([en]).
([en]).
- Якщо матриця A визначена над дійсними числами, то ранг A та ранг відповідної їй матриці Грама рівні. Таким чином, для дійсних матриць
- Якщо матриця A визначена над комплексними числами, то
- де A* — ермітово-спряжена до A матриця.
Див. також
Джерела
- Безущак О. О., Ганюшкін О. Г., Кочубінська Є. А. Навчальний посібник з лінійної алгебри. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2019. — 224 с.
- Курдаченко Л. А., Кириченко В. В., Семко М. М. Вибрані розділи алгебри та теорії чисел. — Київ : Ін-т математики НАН України, 2005. — 208 с.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Ранг матриці та способи його обчислення // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 19-23. — 594 с.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Rank (linear algebra)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rang matrici ce maksimalna kilkist yiyi linijno nezalezhnih stovpciv ryadkiv Ce chislo dorivnyuye rozmirnosti vektornogo prostoru porodzhenogo abo natyagnutogo yiyi stovpcyami ryadkami Rang matrici ye odniyeyu z yiyi fundamentalnih harakteristik Osnovni oznachennyaLinijno nezalezhna pidsistema sistemi vektoriv nazivayetsya maksimalnoyu linijno nezalezhnoyu pidsistemoyu yaksho priyednuyuchi do neyi dovilnij vektor sistemi budemo distavati linijno zalezhnu sistemu vektoriv Kilkist vektoriv u takij pidsistemi danoyi sistemi vektoriv nazivayetsya rangom ciyeyi sistemi vektoriv Rang sistemi vektor stovpciv matrici nazivayetsya stovpcevim rangom matrici analogichno rang sistemi vektor ryadkiv matrici nazivayetsya ryadkovim rangom matrici Mozhna dovesti sho stovpcevij i ryadkovij rangi matrici zbigayutsya I yih spilne znachennya nazivayetsya rangom matrici Poznachennya rank A displaystyle operatorname rank A rk A displaystyle operatorname rk A rang A displaystyle operatorname rang A abo rg A displaystyle operatorname rg A Kazhut sho matricya A rozmiru n m maye povnij rang yaksho yiyi rang dorivnyuye min n m displaystyle min n m Defektom matrici A nazivayut riznicyu min n m rank A displaystyle min n m operatorname rank A Defekt matrici A poznachayut cherez def A displaystyle operatorname def A Rangom linijnogo vidobrazhennya abo operatora F displaystyle Phi nazivayetsya rozmirnist jogo obrazu rank F dim Im F displaystyle operatorname rank Phi dim operatorname Im Phi de dim displaystyle dim rozmirnist vektornogo prostoru a Im displaystyle operatorname Im obraz vidobrazhennya Defektom operatora F displaystyle Phi nazivayetsya rozmirnist jogo yadra def F dim Ker F displaystyle operatorname def Phi dim operatorname Ker Phi de Ker displaystyle operatorname Ker yadro vidobrazhennya Obchislennya rangu matriciZagalnij pidhid do viznachennya rangu matrici polyagaye v tomu shob zvesti yiyi do bilsh prostogo viglyadu yak pravilo do ryadkovoyi stupinchastoyi formi za dopomogoyu elementarnih operacij nad ryadkami Ci operaciyi nad ryadkami ne zminyuyut prostir porodzhenij nimi otzhe takim chinom ne zminyuyut rang matrici Rang ryadkovoyi stupinchastoyi matrici dorivnyuye kilkosti yiyi nenulovih ryadkiv Napriklad matricyu A 121 2 31350 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 2 amp 3 amp 1 3 amp 5 amp 0 end pmatrix mozhna zvesti do ryadkovoyi stupinchastoyi formi za dopomogoyu nastupnih elementarnih operacij nad ryadkami 121 2 31350 2R1 R2 R2 121013350 3R1 R3 R3 1210130 1 3 R2 R3 R3 121013000 2R2 R1 R1 10 5013000 displaystyle begin aligned begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 2 amp 3 amp 1 3 amp 5 amp 0 end pmatrix amp xrightarrow 2R 1 R 2 to R 2 begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 0 amp 1 amp 3 3 amp 5 amp 0 end pmatrix xrightarrow 3R 1 R 3 to R 3 begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 0 amp 1 amp 3 0 amp 1 amp 3 end pmatrix amp xrightarrow R 2 R 3 to R 3 begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 0 amp 1 amp 3 0 amp 0 amp 0 end pmatrix xrightarrow 2R 2 R 1 to R 1 begin pmatrix 1 amp 0 amp 5 0 amp 1 amp 3 0 amp 0 amp 0 end pmatrix end aligned Otrimana matricya maye dva nenulovi ryadki tomu rang matrici A dorivnyuye 2 VlastivostiNehaj A matricya rozmiru n m i f linijne vidobrazhennya viznachene ciyeyu matriceyu Tilki nulova matricya maye nulovij rang rank A min m n displaystyle operatorname rank A leq min m n f ye in yekciyeyu todi i tilki todi koli A maye rang m maye povnij stovpcevij rang f ye syur yekciyeyu todi i tilki todi koli A maye rang n maye povnij ryadkovij rang Yaksho A ye kvadratnoyu matriceyu to A ye nevirodzhenoyu matriceyu todi i tilki todi koli A maye povnij rang Takozh pri povnomu ranzi f ye biyekciyeyu Yaksho B matricya rozmiru m k torank AB min rank A rank B displaystyle operatorname rank AB leq min operatorname rank A operatorname rank B dd Yaksho matricya B rozmiru m k maye rang m torank AB rank A displaystyle operatorname rank AB operatorname rank A dd Yaksho matricya C rozmiru l n maye rang n torank CA rank A displaystyle operatorname rank CA operatorname rank A dd Rang A dorivnyuye r todi i tilki todi koli isnuyut oborotni kvadratni matricya X i Y poryadkiv n i m vidpovidno taki shoXAY Ir000 displaystyle XAY begin pmatrix I r amp 0 0 amp 0 end pmatrix dd de Ir odinichna matricya poryadku r Nerivnist Silvestra dlya rangiv yaksho A matricya rozmiru n m i B matricya rozmiru m k torank A rank B m rank AB displaystyle operatorname rank A operatorname rank B m leq operatorname rank AB dd Nerivnist Frobeniusa dlya rangiv yaksho matrici AB ABC i BC viznacheni torank AB rank BC rank B rank ABC displaystyle operatorname rank AB operatorname rank BC leq operatorname rank B operatorname rank ABC dd Yaksho B matricya togo zh rozmiru sho i A torank A B rank A rank B displaystyle operatorname rank A B leq operatorname rank A operatorname rank B en dd rank f def f m displaystyle operatorname rank f operatorname def f m en Yaksho matricya A viznachena nad dijsnimi chislami to rang A ta rang vidpovidnoyi yij matrici Grama rivni Takim chinom dlya dijsnih matricrank ATA rank AAT rank A rank AT displaystyle operatorname rank A mathrm T A operatorname rank AA mathrm T operatorname rank A operatorname rank A mathrm T dd Yaksho matricya A viznachena nad kompleksnimi chislami torank A rank A rank AT rank A rank A A rank AA displaystyle operatorname rank A operatorname rank overline A operatorname rank A mathrm T operatorname rank A operatorname rank A A operatorname rank AA dd de A ermitovo spryazhena do A matricya Div takozhPortal Matematika Teoriya matric Viznachnik matriciDzherelaBezushak O O Ganyushkin O G Kochubinska Ye A Navchalnij posibnik z linijnoyi algebri Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2019 224 s Kurdachenko L A Kirichenko V V Semko M M Vibrani rozdili algebri ta teoriyi chisel Kiyiv In t matematiki NAN Ukrayini 2005 208 s Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Teoriya matric Moskva Nauka 1973 280 s ros Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Rang matrici ta sposobi jogo obchislennya Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 19 23 594 s V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Rank linear algebra angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi