Тотожність паралелограма

Паралелограм.

В Евклідовій геометрії

Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей.

${\displaystyle \ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.}$

В просторах зі скалярним добутком

В векторних просторах зі скалярним добутком, це правило виглядає так:

${\displaystyle \ 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}}$

де

${\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$

В нормованих просторах

В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:

для дійсного простору

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},}$ або ${\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},}$ або ${\displaystyle {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.}$

для комплексного простору

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.}$

Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю.

Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином ${\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$ задовільнятиме ці тотожності.

Поляризаційна тотожність

Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові.

Узагальнення

Якщо B — симетрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як

${\displaystyle \ Q(v)=B(v,v)}$

тоді

${\displaystyle {\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}}}$

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• Березанский Ю. М., , Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)