Теорема Гана-Банаха — один із ключових результатів функціонального аналізу, що стверджує, що довільний обмежений функціонал, визначений на деякому підпросторі векторного простору можна продовжити на весь векторний простір.
Формулювання
Для векторного простору X над полем дійсних чисел функція називається сублінійною, якщо виконуються наступні умови:
- для довільних та x ∈ X,
- для довільних x, y ∈ X.
Загальне твердження теореми можна подати так: Якщо є сублінійною функцією, і є лінійним функціоналом на лінійному підпросторі Y простору X і також виконується нерівність:
тоді існує продовження для φ на весь простір X, i.e., тобто існує функціонал ψ такий, що
і
Доведення
Спершу доведемо, що існує продовження в одному напрямку. Нехай . Розглянемо лінійний простір виду:
Продовження на запишемо:
де — дійсне число, яке необхідно визначити.
Для довільних і виконується:
Звідси
Як наслідок
Визначимо так:
Виконується рівність
- .
Визначимо
Для всіх і довільних справджується нерівність:
тому
Для завершення доведення використовується лема Цорна. Нехай E є множиною усіх можливих продовжень, що задовольняють умови теореми. Дана множина є частково впорядкована за включенням областей визначення і кожна лінійно впорядкована підмножина має супремум (об'єднання областей визначення). Тому за лемою Цорна дана множина має максимальний елемент. Цей елемент рівний всьому простору, адже в іншому випадку можна здійснити дальше продовження, скориставшись щойно визначеною конструкцією.
Наслідки
- Якщо є нормованим простором, є його підпростором і є деяким функціоналом на , тоді існує такий, що:
- і також .
- Для довільних двох різних точок лінійного простору існує лінійний функціонал, що приймає різні значення в цих точках.
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. .
- Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill Science/Engineering/Math,
- Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Gana Banaha odin iz klyuchovih rezultativ funkcionalnogo analizu sho stverdzhuye sho dovilnij obmezhenij funkcional viznachenij na deyakomu pidprostori vektornogo prostoru mozhna prodovzhiti na ves vektornij prostir FormulyuvannyaDlya vektornogo prostoru X nad polem dijsnih chisel funkciya f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nazivayetsya sublinijnoyu yaksho vikonuyutsya nastupni umovi f g x g f x displaystyle f gamma x gamma f left x right dlya dovilnih g R displaystyle gamma in mathbb R ta x X f x y f x f y displaystyle f x y leqslant f x f y dlya dovilnih x y X Zagalne tverdzhennya teoremi mozhna podati tak Yaksho p X R displaystyle p colon X rightarrow mathbb R ye sublinijnoyu funkciyeyu i f Y R displaystyle varphi colon Y rightarrow mathbb R ye linijnim funkcionalom na linijnomu pidprostori Y prostoru X i takozh vikonuyetsya nerivnist f x p x x Y displaystyle varphi x leqslant p x qquad forall x in Y todi isnuye prodovzhennya ps X R displaystyle psi colon X rightarrow mathbb R dlya f na ves prostir X i e tobto isnuye funkcional ps takij sho ps x f x x Y displaystyle psi x varphi x qquad forall x in Y i ps x p x x X displaystyle psi x leqslant p x qquad forall x in X DovedennyaSpershu dovedemo sho isnuye prodovzhennya v odnomu napryamku Nehaj z X Y displaystyle z in X setminus Y Rozglyanemo linijnij prostir vidu Y z y a z y Y a R displaystyle Y z doteq left y az y in Y a in mathbb R right Prodovzhennya f displaystyle varphi na Y z displaystyle Y z zapishemo ps y a z f y a ps z displaystyle psi y az doteq varphi y a psi z de ps z displaystyle psi z dijsne chislo yake neobhidno viznachiti Dlya dovilnih y 1 y 2 Y displaystyle y 1 y 2 in Y i a b gt 0 displaystyle a b gt 0 vikonuyetsya f a y 1 b y 2 a f y 1 b f y 2 a b f a a b y 1 b a b y 2 displaystyle varphi ay 1 by 2 a varphi y 1 b varphi y 2 a b varphi left frac a a b y 1 frac b a b y 2 right leqslant a b p a a b y 1 b a b y 2 displaystyle a b p left frac a a b y 1 frac b a b y 2 right a b p a a b y 1 b z b a b y 2 a z displaystyle a b p left frac a a b y 1 bz frac b a b y 2 az right leqslant a p y 1 b z b p y 2 a z displaystyle ap y 1 bz bp y 2 az Zvidsi a f y 1 p y 1 b z b f y 2 p y 2 a z displaystyle a left varphi y 1 p y 1 bz right leqslant b left varphi y 2 p y 2 az right Yak naslidok 1 b p y 1 b z f y 1 1 a p y 2 a z f y 2 y 1 y 2 Y a b gt 0 displaystyle frac 1 b left p y 1 bz varphi y 1 right leqslant frac 1 a left p y 2 az varphi y 2 right quad forall y 1 y 2 in Y quad forall a b gt 0 Viznachimo c R displaystyle c in mathbb R tak sup a gt 0 y Y 1 b p y b z f y c inf a gt 0 y Y 1 a p y a z f y displaystyle sup a gt 0 y in Y left frac 1 b left p y bz varphi y right right leqslant c leqslant inf a gt 0 y in Y left frac 1 a left p y az varphi y right right Vikonuyetsya rivnist a c p y a z f y y Y a R displaystyle ac leqslant p y az f y quad forall y in Y quad forall a in mathbb R Viznachimo ps z c displaystyle psi z c Dlya vsih y Y displaystyle y in Y i dovilnih a R displaystyle a in mathbb R spravdzhuyetsya nerivnist ps y a z f y a c p y a z displaystyle psi y az varphi y ac leqslant p y az tomu ps x p x x Y z displaystyle psi x leqslant p x quad forall x in Y z Dlya zavershennya dovedennya vikoristovuyetsya lema Corna Nehaj E ye mnozhinoyu usih mozhlivih prodovzhen sho zadovolnyayut umovi teoremi Dana mnozhina ye chastkovo vporyadkovana za vklyuchennyam oblastej viznachennya i kozhna linijno vporyadkovana pidmnozhina maye supremum ob yednannya oblastej viznachennya Tomu za lemoyu Corna dana mnozhina maye maksimalnij element Cej element rivnij vsomu prostoru adzhe v inshomu vipadku mozhna zdijsniti dalshe prodovzhennya skoristavshis shojno viznachenoyu konstrukciyeyu NaslidkiYaksho X displaystyle X ye normovanim prostorom M displaystyle M ye jogo pidprostorom i x M displaystyle x in M ye deyakim funkcionalom na M displaystyle M todi isnuye y X displaystyle y in X takij sho y M x displaystyle y M x i takozh x y displaystyle x y dd Dlya dovilnih dvoh riznih tochok linijnogo prostoru isnuye linijnij funkcional sho prijmaye rizni znachennya v cih tochkah DzherelaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Michael Reed and Barry Simon Methods of Modern Mathematical Physics Vol 1 Functional Analysis Section III 3 Academic Press San Diego 1980 ISBN 0 12 585050 6 Rudin Walter 1991 Functional Analysis 2nd ed McGraw Hill Science Engineering Math ISBN 978 0 07 054236 5 Haim Brezis Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial Differential Equations Springer ISBN 0387709134