Компактна група Лі — скінченновимірна група Лі, що є компактним топологічним простором. Цей тип груп Лі має велике значення оскільки багато з найважливіших у теорії і застосуваннях прикладів груп Лі є компактними, а також зважаючи на багато властивостей і їх класифікацію, яка прямо пов'язана з класифікацією напівпростих комплексних алгебр Лі.
Приклади
Наступні приклади зв'язаних компактних груп Лі відіграють важливу роль в загальній структурній теорії компактних груп Лі, а також мають численні застосування у різних розділах математики і інших наук:
- Мультиплікативна група всіх комплексних чисел, рівних по модулю 1.
- Група всіх комплексних унітарних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна унітарна група).
- Група всіх дійсних ортогональних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна ортогональна група).
- Спінорна група . Дана група є універсальним накриттям групи
- Група всіх матриць , що також є симплектичними матрицями, тобто для них виконується рівність де матриця є блоковою матрицею виду
- і Т — знак транспонування, а — одинична матриця порядку n. Група називається симплектичною групою.
Властивості
- На довільній компактній топологічній групі, що також є топологічним многовидом можна ввести структуру групи Лі.
- Кількість компонент зв'язності є скінченною.
- Якщо компактна група Лі є зв'язаною, то експонента є сюр'єктивним відображенням. Для довільних компактних груп Лі образом експоненти є компонента зв'язності одиничного елемента.
- Для довільного лінійного представлення групи на скінченновимірному просторі можна обрати такий скалярний добуток, що всі лінійні перетворення будуть унітарними (ортогональними для дійсних векторних полів).
- Алгебра Лі компактної групи може бути записана у виді прямої суми де — центр алгебри, і форма Кіллінга є від'ємноозначеною на підалгебрі
Класифікація дійсних компактних груп Лі
Якщо — компонента зв'язності одиничного елемента компактної групи Лі , то група компонент зв'язності є скінченною. Тобто є скінченним розширенням зв'язаної групи
Таким чином задача класифікації компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних компактних груп Лі. Ця класифікація була здійснена у працях Елі Картана і Германа Вейля.
Усі зв'язані комутативні компактні групи Лі є торами тобто групами виду
- де в правій стороні є n множників.
Серед некомутативних компактних груп Лі особливе значення мають зв'язані напівпрості компактні групи Лі, тобто групи, що не мають нетривіальних нормальних абелевих підгруп або, еквівалентно алгебри Лі яких є напівпростими.
Якщо — зв'язана напівпроста компактна група Лі, то універсальне накриття групи також є компактною групою Лі (теорема Вейля). Центр групи є скінченною множиною, а всі зв'язані групи Лі, що є локально ізоморфними групі , є компактними і з точністю до ізоморфізму є групами виду , де
Довільні зв'язані компактні групи Лі з точністю до ізоморфізму є факторгрупами виду:
- де — зв'язана однозв'язна напівпроста компактна група Лі з центром , — тор, a — скінченна підгрупа в групі що перетинається з лише по одиниці.
Таким чином, класифікація зв'язаних компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних однозв'язних напівпростих компактних груп Лі (або, що те ж, напівпростих компактних алгебр Лі) і опису їх центрів.
Напівпрості компактні алгебри Лі знаходяться у взаємно однозначній відповідності з напівпростими комплексними алгебрами Лі (і тим самим з їх системами коренів). А саме, якщо — напівпроста компактна алгебра Лі, то її комплексифікація є напівпростою комплексною алгеброю Лі. Навпаки, для будь-якої напівпростої алгебри Лі над існує, і притому єдина з точністю до спряженості, компактна дійсна форма.
Остаточний результат класифікації простих компактних алгебр Лі та відповідних їм зв'язаних однозв'язних компактних груп Лі такий.
Є 4 нескінченних серії так званих класичних простих компактних алгебр Лі, які відповідають таким серіям незвідних наведених коренів:
Ці алгебри Лі є алгебрами Лі відповідно компактних груп
Крім них є ще лише п'ять так званих виняткових простих компактних алгебр Лі, що відповідають системам коренів типів , , , і . Будь-яка компактна проста алгебра Лі є ізоморфна одній з цих алгебр Лі, а самі вони є попарно неізоморфними одна одній.
Відповідно описані прості компактні групи Лі є усіма простими компактними однозв'язними групами Лі, а в попередній формулі група є добутком скінченної кількості таких груп. Це завершує класифікацію
Комплексні компактні групи Лі
Будь-яка компактна група Лі є дійсною аналітичною групою. Комплексні компактні аналітичні групи називаються також комплексними компактними групами Лі. Всяка зв'язана комплексна компактна група Лі (як комплексна група Лі) ізоморфна комплексному тору де — дискретна підгрупа рангу 2n в і (як дійсна група Лі) ізоморфна . Два комплексних тора є ізоморфними (як комплексні групи Лі) тоді і тільки тоді, коли для деякого
Література
- Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970
- Bröcker, T.; tom Dieck, T. (1985), Representations of Compact Lie Groups, , т. 98, Springer, ISBN
- Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, т. 5, Academic Press, ISBN
- Fegan, Howard D (1991), Introduction To Compact Lie Groups, Series in Pure Mathematics, World Scientific, ISBN
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN
- John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN
- Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 235, Springer, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kompaktna grupa Li skinchennovimirna grupa Li sho ye kompaktnim topologichnim prostorom Cej tip grup Li maye velike znachennya oskilki bagato z najvazhlivishih u teoriyi i zastosuvannyah prikladiv grup Li ye kompaktnimi a takozh zvazhayuchi na bagato vlastivostej i yih klasifikaciyu yaka pryamo pov yazana z klasifikaciyeyu napivprostih kompleksnih algebr Li PrikladiNastupni prikladi zv yazanih kompaktnih grup Li vidigrayut vazhlivu rol v zagalnij strukturnij teoriyi kompaktnih grup Li a takozh mayut chislenni zastosuvannya u riznih rozdilah matematiki i inshih nauk Multiplikativna grupa T 1 displaystyle T 1 vsih kompleksnih chisel rivnih po modulyu 1 Grupa SU n displaystyle operatorname SU n vsih kompleksnih unitarnih matric poryadku n z viznachnikom rivnim 1 specialna unitarna grupa Grupa SO n displaystyle operatorname SO n vsih dijsnih ortogonalnih matric poryadku n z viznachnikom rivnim 1 specialna ortogonalna grupa Spinorna grupa Spin n displaystyle operatorname Spin n Dana grupa ye universalnim nakrittyam grupi SO n displaystyle operatorname SO n Grupa Sp n displaystyle operatorname Sp n vsih matric X SU 2 n displaystyle X in operatorname SU 2n sho takozh ye simplektichnimi matricyami tobto dlya nih vikonuyetsya rivnist X W X T W displaystyle X Omega X T Omega de matricya W displaystyle Omega ye blokovoyu matriceyu vidu W 0 I n I n 0 displaystyle Omega begin bmatrix 0 amp I n I n amp 0 end bmatrix i T znak transponuvannya a I n displaystyle I n odinichna matricya poryadku n Grupa Sp n displaystyle operatorname Sp n nazivayetsya simplektichnoyu grupoyu dd VlastivostiNa dovilnij kompaktnij topologichnij grupi sho takozh ye topologichnim mnogovidom mozhna vvesti strukturu grupi Li Kilkist komponent zv yaznosti ye skinchennoyu Yaksho kompaktna grupa Li ye zv yazanoyu to eksponenta ye syur yektivnim vidobrazhennyam Dlya dovilnih kompaktnih grup Li obrazom eksponenti ye komponenta zv yaznosti odinichnogo elementa Dlya dovilnogo linijnogo predstavlennya p V displaystyle pi V grupi G displaystyle G na skinchennovimirnomu prostori V displaystyle V mozhna obrati takij skalyarnij dobutok sho vsi linijni peretvorennya p V displaystyle pi V budut unitarnimi ortogonalnimi dlya dijsnih vektornih poliv Algebra Li kompaktnoyi grupi mozhe buti zapisana u vidi pryamoyi sumi g z g g displaystyle mathfrak g mathfrak z oplus mathfrak g mathfrak g de z displaystyle mathfrak z centr algebri i forma Killinga ye vid yemnooznachenoyu na pidalgebri g g displaystyle mathfrak g mathfrak g Klasifikaciya dijsnih kompaktnih grup LiYaksho G 0 displaystyle G 0 komponenta zv yaznosti odinichnogo elementa kompaktnoyi grupi Li G displaystyle G to grupa komponent zv yaznosti G G 0 displaystyle G G 0 ye skinchennoyu Tobto G displaystyle G ye skinchennim rozshirennyam zv yazanoyi grupi 1 G 0 G p 0 G 1 displaystyle 1 to G 0 to G to pi 0 G to 1 Takim chinom zadacha klasifikaciyi kompaktnih grup Li zvoditsya do klasifikaciyi zv yazanih kompaktnih grup Li Cya klasifikaciya bula zdijsnena u pracyah Eli Kartana i Germana Vejlya Usi zv yazani komutativni kompaktni grupi Li ye torami tobto grupami vidu T n T 1 T 1 T 1 displaystyle T n T 1 times T 1 times ldots times T 1 de v pravij storoni ye n mnozhnikiv Sered nekomutativnih kompaktnih grup Li osoblive znachennya mayut zv yazani napivprosti kompaktni grupi Li tobto grupi sho ne mayut netrivialnih normalnih abelevih pidgrup abo ekvivalentno algebri Li yakih ye napivprostimi Yaksho G displaystyle G zv yazana napivprosta kompaktna grupa Li to universalne nakrittya G displaystyle bar G grupi G displaystyle G takozh ye kompaktnoyu grupoyu Li teorema Vejlya Centr Z displaystyle Z grupi G displaystyle bar G ye skinchennoyu mnozhinoyu a vsi zv yazani grupi Li sho ye lokalno izomorfnimi grupi G displaystyle G ye kompaktnimi i z tochnistyu do izomorfizmu ye grupami vidu G D displaystyle bar G D de D Z displaystyle D subset Z Dovilni zv yazani kompaktni grupi Li z tochnistyu do izomorfizmu ye faktorgrupami vidu K T D displaystyle K times T D de K displaystyle K zv yazana odnozv yazna napivprosta kompaktna grupa Li z centrom Z displaystyle Z T displaystyle T tor a D displaystyle D skinchenna pidgrupa v grupi Z T displaystyle Z times T sho peretinayetsya z T displaystyle T lishe po odinici Takim chinom klasifikaciya zv yazanih kompaktnih grup Li zvoditsya do klasifikaciyi zv yazanih odnozv yaznih napivprostih kompaktnih grup Li abo sho te zh napivprostih kompaktnih algebr Li i opisu yih centriv Napivprosti kompaktni algebri Li znahodyatsya u vzayemno odnoznachnij vidpovidnosti z napivprostimi kompleksnimi algebrami Li i tim samim z yih sistemami koreniv A same yaksho g displaystyle mathfrak g napivprosta kompaktna algebra Li to yiyi kompleksifikaciya ye napivprostoyu kompleksnoyu algebroyu Li Navpaki dlya bud yakoyi napivprostoyi algebri Li nad isnuye i pritomu yedina z tochnistyu do spryazhenosti kompaktna dijsna forma Ostatochnij rezultat klasifikaciyi prostih kompaktnih algebr Li ta vidpovidnih yim zv yazanih odnozv yaznih kompaktnih grup Li takij Ye 4 neskinchennih seriyi tak zvanih klasichnih prostih kompaktnih algebr Li yaki vidpovidayut takim seriyam nezvidnih navedenih koreniv A n n 1 B n n 2 C n n 3 D n n 4 displaystyle A n n geqslant 1 B n n geqslant 2 C n n geqslant 3 D n n geqslant 4 Ci algebri Li ye algebrami Li vidpovidno kompaktnih grup SU n 1 displaystyle operatorname SU n 1 Spin 2 n 1 displaystyle operatorname Spin 2n 1 Sp n displaystyle operatorname Sp n Spin 2 n displaystyle operatorname Spin 2n Krim nih ye she lishe p yat tak zvanih vinyatkovih prostih kompaktnih algebr Li sho vidpovidayut sistemam koreniv tipiv G 2 displaystyle G 2 F 4 displaystyle F 4 E 6 displaystyle E 6 E 7 displaystyle E 7 i E 8 displaystyle E 8 Bud yaka kompaktna prosta algebra Li ye izomorfna odnij z cih algebr Li a sami voni ye poparno neizomorfnimi odna odnij Vidpovidno opisani prosti kompaktni grupi Li ye usima prostimi kompaktnimi odnozv yaznimi grupami Li a v poperednij formuli K T D displaystyle K times T D grupa K displaystyle K ye dobutkom skinchennoyi kilkosti takih grup Ce zavershuye klasifikaciyuKompleksni kompaktni grupi LiBud yaka kompaktna grupa Li ye dijsnoyu analitichnoyu grupoyu Kompleksni kompaktni analitichni grupi nazivayutsya takozh kompleksnimi kompaktnimi grupami Li Vsyaka zv yazana kompleksna kompaktna grupa Li yak kompleksna grupa Li izomorfna kompleksnomu toru C G displaystyle mathbb C Gamma de G displaystyle Gamma diskretna pidgrupa rangu 2n v i yak dijsna grupa Li izomorfna T 2 n displaystyle T 2n Dva kompleksnih tora G 1 G 2 displaystyle Gamma 1 Gamma 2 ye izomorfnimi yak kompleksni grupi Li todi i tilki todi koli G 2 g G 1 displaystyle Gamma 2 g Gamma 1 dlya deyakogo g GL n C displaystyle g in operatorname GL n mathbb C LiteraturaZhelobenko D P Kompaktnye gruppy Li i ih predstavleniya M 1970 Brocker T tom Dieck T 1985 Representations of Compact Lie Groups t 98 Springer ISBN 3540136789 Dieudonne J 1977 Compact Lie groups and semisimple Lie groups Chapter XXI Treatise on analysis t 5 Academic Press ISBN 012215505X Fegan Howard D 1991 Introduction To Compact Lie Groups Series in Pure Mathematics World Scientific ISBN 9810236867 Hall Brian C 2015 Lie Groups Lie Algebras and Representations An Elementary Introduction Graduate Texts in Mathematics t 222 vid 2nd Springer ISBN 0 387 40122 9 John F Price 1977 Lie groups and compact groups London Mathematical Society lecture note series t 25 Cambridge University Press ISBN 9780521213400 Sepanski Mark R 2007 Compact Lie groups Graduate Texts in Mathematics t 235 Springer ISBN 0387302638