Лінійні перетворення

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ в векторний простір ${\displaystyle W}$ (над тим же полем ${\displaystyle K}$)

${\displaystyle f\colon \ V_{K}\to W_{K},}$

що має властивість лінійності:

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\qquad \forall x,y\in V_{K},\quad \forall \alpha ,\beta \in K.}$

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$     адитивність

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$     однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.

Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор — узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, оскільки їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадки

• Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого ${\displaystyle W_{K}=K\!}$

${\displaystyle f:V_{K}\to K\!}$

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до ${\displaystyle ~V}$, який теж є лінійним простором (позначається звичайно ${\displaystyle ~V^{*}}$)

• лінійне перетворення — лінійний оператор, для якого ${\displaystyle V_{K}=W_{K}\!}$

${\displaystyle f:V_{K}\to V_{K}\!}$

• Тотожний оператор — оператор ${\displaystyle x\mapsto x}$, що відображає кожен елемент простору ${\displaystyle V_{K}\!}$ в самого себе.
• Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору ${\displaystyle V_{K}\!}$ в нульовий елемент простору ${\displaystyle W_{K}\,.}$

Композиції лінійних відображень

• Якщо f:V→W і g:W→Z є лінійними відображеннями, то відображення g•f : V→Z також є лінійним.
• Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
• Якщо f₁:V→W і f₂:V→W є лінійними відображеннями, то відображення f₁+f₂ (визначене як (f₁+f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)) теж є лінійним.
• Якщо f:V→W є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення

Докладніше: Ядро та образ лінійного оператора

• Ядром лінійного відображення ${\displaystyle f:V\to W\!}$ називається така підмножина ${\displaystyle V\!}$ що:

${\displaystyle \ker {(f)}=\{x\in V:f(x)=0\}}$

Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle V.\!}$

• Образом лінійного відображення ${\displaystyle f:V\to W\!}$ називається така підмножина ${\displaystyle W\!}$ що:

${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{w\in W:w=f(x),x\in V\}}$

Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі ${\displaystyle W.\!}$

• Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

${\displaystyle \dim(\ker {f})+\dim(\operatorname {im} {\,f})=\dim(V)}$

Число ${\displaystyle \dim(\operatorname {im} {\,f})}$ називається ранг ${\displaystyle f\!}$ і записується як ${\displaystyle \operatorname {rank} {(f)}}$ чи ${\displaystyle \operatorname {rk} {(f)}.}$

Якщо розмірності ${\displaystyle V\!}$ і ${\displaystyle W\!}$ скінченні й вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів.

І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення

Якщо в просторі ${\displaystyle V\!}$ вибрано базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})\!}$, в просторі ${\displaystyle W\!}$ вибрано базис ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$, то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

${\displaystyle A={\begin{Vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\&\cdots &\\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{Vmatrix}}}$

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора ${\displaystyle Ae_{j}\!}$, тобто координат образу j-го базисного вектора

${\displaystyle Ae_{j}=(a_{1j}f_{1}+\ldots +a_{mj}f_{m})\!}$   в базисі ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m}).\!}$

Координати ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})\!}$ образу ${\displaystyle Ax\!}$ вектора ${\displaystyle x\!}$ в базисі ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$ при лінійному відображенні ${\displaystyle A\!}$
виражаються через координати ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\!}$ вектора ${\displaystyle x\!}$ в базисі ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})\!}$ за формулою:

${\displaystyle {\begin{Vmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{Vmatrix}}=A{\begin{Vmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{Vmatrix}}}$

Матриці лінійного відображення в різних базисах

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення ${\displaystyle f\!}$ в базисах ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n});(f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$ і ${\displaystyle (e_{1}',\ldots ,e_{n}');(f_{1}',\ldots ,f_{m}')\!}$ то

${\displaystyle {\tilde {A}}=T^{-1}AS}$

де S і T — матриці переходу від базису ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})\!}$ до базису ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{m})\!}$ і від базису ${\displaystyle (e_{1}',\ldots ,e_{n}')\!}$ до базису ${\displaystyle (f_{1}',\ldots ,f_{m}')\!}$ відповідно:

${\displaystyle (e_{1}',\ldots ,e_{n}')=(e_{1},\ldots ,e_{n})S,\!}$

${\displaystyle (f_{1}',\ldots ,f_{m}')=(f_{1},\ldots ,f_{m})T.\!}$

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

• для зміни базису використовується матриця переходу;
• матриці перетворення в різних базисах є подібними матрицями.

Див. також

• Перетворення (математика)
• Теорія операторів
• Спектр оператора
• Скалярний добуток
• Гільбертів простір
• Евклідів простір
• Базис

Примітки

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)