Клас спря́женості — множина елементів групи , утворена з елементів, спряжених заданому тобто всіх елементів виду , де — довільний елемент групи .
Клас сполученості елемента може позначатися , або .
Визначення
Елементи і
групи
називаються спряженими, якщо існує елемент
, для котрого
. Спряженість є відношенням еквівалентності, а тому розбиває
на класи еквівалентності, це, зокрема, означає, що кожен елемент групи належить рівно одному класу спряженості, і класи
і
збігаються тоді й лише тоді, коли
і
пов'язані, і не перетинаються в іншому разі.
Зауваження
- Класи спряженості можна також визначити як орбіти дії групи на собі спряженнями, заданими формулою
.
Приклади
- Симетрична група
, що складається з усіх шести перестановок трьох елементів, має три класи спряженості:
- порядок не змінюється (
, «1A»),
- перестановка двох елементів (
,
,
, «3A»),
- циклічна перестановка всіх трьох елементів (
,
, «2A»).
- порядок не змінюється (
- Симетрична група
, що складається з усіх 24 перестановок чотирьох елементів, має п'ять класів спряженості:
- порядок не змінюється (1 перестановка):
, «1A» або «(1)4»;
- перестановка двох елементів (6 перестановок):
, «6A» або «(2)»;
- циклічна перестановка трьох елементів (8 перестановок):
, «8A» або «(3)»;
- циклічна перестановка всіх чотирьох елементів (6 перестановок):
, «6B» або «(4)»;
- попарна перестановка (3 перестановки):
, «3A» або «(2)(2)».
- порядок не змінюється (1 перестановка):
Властивості
- Нейтральний елемент завжди утворює свій власний клас
- Якщо
— абелева, то
, таким чином
для всіх елементів групи.
- Якщо два елементи
і
групи
належать одному класу спряженості, всі вони мають однаковий порядок.
- Загальніше: будь-яке теоретико-групове твердження
про елемент
еквівалентне твердженню для елемента
, оскільки поєднання
є автоморфізмом групи
.
- Загальніше: будь-яке теоретико-групове твердження
- Елемент
лежить у центрі
тоді й лише тоді, коли його клас спряженості складається з єдиного елемента:
.
- Загальніше: індекс підгрупи
(централізатора даного елемента
) дорівнює числу елементів у класі спряженості
(за [en]).
- Загальніше: індекс підгрупи
- Якщо
і
спряжені, то спряжені й їх степені
і
.
- Для будь-якого елемента групи
елементи в класі сопряженості
взаємно-однозначно відповідають (класам суміжності) централізатора
, справді, якщо
, то
для деякого
, що приводить до того самого спряженого елемента:
. Зокрема:
- Якщо
— скінченна група, то число елементів у класі спряженості
є індексом централізатора
.
- Порядок кожного класу спряженості є дільником порядку групи.
- Якщо
- Порядок групи є сумою індексів централізаторів за вибраним представником
з кожного класу спряженості:
. З урахуванням того, що централізатор групи
утворює клас спряженості з єдиного елемента (самого себе), це співвідношення, зване рівнянням класів спряженості, записують так:
,
- де сума береться за всіма представниками кожного класу спряженості, які не належать центру.
- Наприклад, нехай задано скінченну
-групу
(тобто групу з порядком
, де
— просте число і
). Оскільки порядок будь-якого класу спряженості повинен ділити порядок групи, кожен клас спряженості
також має порядок, рівний деякому степеню
(
), і тоді з рівняння класів спряженості випливає, що:
,
- звідси, у свою чергу, випливає, що число
має ділити
, так що
для всіх скінченних
-груп, тобто рівняння класів спряженості дозволяє встановити, що будь-яка скінченна
-група має нетривіальний центр.
- Наприклад, нехай задано скінченну
- Класи спряженості у фундаментальній групі лінійно зв'язного топологічного простору можна розглядати як класи еквівалентності [en] при вільній гомотопії.
Варіації та узагальнення
Для довільної підмножини (не обов'язково підгрупи) підмножину
називають спряженою до
, якщо існує певний елемент
, такий, що
. У цьому випадку клас спряженості
— множина всіх підмножин
, таких, що кожне
є спряженим
.
Широко застосовується теорема, згідно з якою для будь-якої заданої підмножини групи
індекс множини її нормалізатора
дорівнює порядку її класу спряженості
:
.
Це випливає з того, що для має місце:
тоді й лише тоді, коли
, тобто
і
міститься в тому самому (класі суміжності) нормалізатора
.
Підгрупи можна поділити на класи спряженості так, що дві підгрупи належать одному класу тоді й лише тоді, коли вони спряжені. Спряжені підгрупи ізоморфні, але ізоморфні підгрупи не обов'язково мають бути спряженими. Наприклад, абелева група може містити дві різні ізоморфні підгрупи, але вони ніколи не будуть спряженими.
Див. також
Примітки
- Grillet, 2007, с. 56.
- Grillet, 2007, с. 57.
Джерела
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
- Pierre Antoine Grillet. Abstract algebra. — 2. — Springer, 2007. — Т. 242. — (Graduate texts in mathematics) — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Klas sprya zhenosti mnozhina elementiv grupi G displaystyle G utvorena z elementiv spryazhenih zadanomu g G displaystyle g in G tobto vsih elementiv vidu h g h 1 displaystyle hgh 1 de h displaystyle h dovilnij element grupi G displaystyle G Klas spoluchenosti elementa g G displaystyle g in G mozhe poznachatisya g displaystyle g g G displaystyle g G abo C l g displaystyle mathrm Cl g ViznachennyaElementi g 1 displaystyle g 1 i g 2 displaystyle g 2 grupi G displaystyle G nazivayutsya spryazhenimi yaksho isnuye element h G displaystyle h in G dlya kotrogo h g 1 h 1 g 2 displaystyle hg 1 h 1 g 2 Spryazhenist ye vidnoshennyam ekvivalentnosti a tomu rozbivaye G displaystyle G na klasi ekvivalentnosti ce zokrema oznachaye sho kozhen element grupi nalezhit rivno odnomu klasu spryazhenosti i klasi g 1 displaystyle g 1 i g 2 displaystyle g 2 zbigayutsya todi j lishe todi koli g 1 displaystyle g 1 i g 2 displaystyle g 2 pov yazani i ne peretinayutsya v inshomu razi Zauvazhennya Klasi spryazhenosti mozhna takozh viznachiti yak orbiti diyi grupi na sobi spryazhennyami zadanimi formuloyu g m g m g 1 displaystyle g m gmg 1 PrikladiSimetrichna grupa S 3 displaystyle S 3 sho skladayetsya z usih shesti perestanovok troh elementiv maye tri klasi spryazhenosti poryadok ne zminyuyetsya a b c a b c displaystyle abc to abc 1A perestanovka dvoh elementiv a b c a c b displaystyle abc to acb a b c b a c displaystyle abc to bac a b c c b a displaystyle abc to cba 3A ciklichna perestanovka vsih troh elementiv a b c b c a displaystyle abc to bca a b c c a b displaystyle abc to cab 2A Simetrichna grupa S 4 displaystyle S 4 sho skladayetsya z usih 24 perestanovok chotiroh elementiv maye p yat klasiv spryazhenosti poryadok ne zminyuyetsya 1 perestanovka 1 2 3 4 displaystyle 1 2 3 4 1A abo 1 4 perestanovka dvoh elementiv 6 perestanovok 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4 4 2 3 1 3 2 1 4 2 1 3 4 displaystyle 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4 4 2 3 1 3 2 1 4 2 1 3 4 6A abo 2 ciklichna perestanovka troh elementiv 8 perestanovok 1 3 4 2 1 4 2 3 3 2 4 1 4 2 1 3 4 1 3 2 2 4 3 1 3 1 2 4 2 3 1 4 displaystyle 1 3 4 2 1 4 2 3 3 2 4 1 4 2 1 3 4 1 3 2 2 4 3 1 3 1 2 4 2 3 1 4 8A abo 3 ciklichna perestanovka vsih chotiroh elementiv 6 perestanovok 2 3 4 1 2 4 1 3 3 1 4 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 3 1 2 displaystyle 2 3 4 1 2 4 1 3 3 1 4 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 3 1 2 6B abo 4 poparna perestanovka 3 perestanovki 2 1 4 3 4 3 2 1 3 4 1 2 displaystyle 2 1 4 3 4 3 2 1 3 4 1 2 3A abo 2 2 U zagalnomu vipadku kilkist klasiv spryazhenosti v simetrichnij grupi S n displaystyle S n dorivnyuye kilkosti rozbittiv chisla n displaystyle n oskilki kozhen klas spryazhenosti vidpovidaye rivno odnomu rozbittyu perestanovki 1 2 n displaystyle 1 2 dots n na cikli VlastivostiNejtralnij element zavzhdi utvoryuye svij vlasnij klas e e displaystyle e e Yaksho G displaystyle G abeleva to g h G g h g 1 h displaystyle forall g h in G ghg 1 h takim chinom g g displaystyle g g dlya vsih elementiv grupi Yaksho dva elementi g 1 displaystyle g 1 i g 2 displaystyle g 2 grupi G displaystyle G nalezhat odnomu klasu spryazhenosti vsi voni mayut odnakovij poryadok Zagalnishe bud yake teoretiko grupove tverdzhennya p g displaystyle pi g pro element g G displaystyle g in G ekvivalentne tverdzhennyu dlya elementa h g displaystyle h in g oskilki poyednannya x x g x 1 displaystyle x to xgx 1 ye avtomorfizmom grupi G displaystyle G Element g G displaystyle g in G lezhit u centri Z G displaystyle Z G todi j lishe todi koli jogo klas spryazhenosti skladayetsya z yedinogo elementa g g displaystyle g g Zagalnishe indeks pidgrupi Z G g displaystyle Z G g centralizatora danogo elementa g displaystyle g dorivnyuye chislu elementiv u klasi spryazhenosti g displaystyle g za en Yaksho g 1 displaystyle g 1 i g 2 displaystyle g 2 spryazheni to spryazheni j yih stepeni g 1 k displaystyle g 1 k i g 2 k displaystyle g 2 k Dlya bud yakogo elementa grupi g G displaystyle g in G elementi v klasi sopryazhenosti g displaystyle g vzayemno odnoznachno vidpovidayut klasam sumizhnosti centralizatora Z G g displaystyle Z G g spravdi yaksho h 1 h 2 displaystyle h 1 in h 2 to h 1 h 2 z displaystyle h 1 h 2 z dlya deyakogo z Z G g displaystyle z in Z G g sho privodit do togo samogo spryazhenogo elementa h 1 g h 1 1 h 2 z g h 2 z 1 h 2 z g z 1 h 2 1 h 2 z z 1 g h 2 1 h 2 g h 2 1 displaystyle h 1 gh 1 1 h 2 zg h 2 z 1 h 2 zgz 1 h 2 1 h 2 zz 1 gh 2 1 h 2 gh 2 1 Zokrema Yaksho G displaystyle G skinchenna grupa to chislo elementiv u klasi spryazhenosti g displaystyle g ye indeksom centralizatora G Z G g displaystyle G Z G g Poryadok kozhnogo klasu spryazhenosti ye dilnikom poryadku grupi Poryadok grupi ye sumoyu indeksiv centralizatoriv za vibranim predstavnikom g i displaystyle g i z kozhnogo klasu spryazhenosti G S i G Z G g i displaystyle G Sigma i G Z G g i Z urahuvannyam togo sho centralizator grupi Z G displaystyle Z G utvoryuye klas spryazhenosti z yedinogo elementa samogo sebe ce spivvidnoshennya zvane rivnyannyam klasiv spryazhenosti zapisuyut tak G Z G S i G Z G g i displaystyle G Z G Sigma i G Z G g i de suma beretsya za vsima predstavnikami kozhnogo klasu spryazhenosti yaki ne nalezhat centru Napriklad nehaj zadano skinchennu p displaystyle p grupu G displaystyle G tobto grupu z poryadkom p n displaystyle p n de p displaystyle p proste chislo i n gt 0 displaystyle n gt 0 Oskilki poryadok bud yakogo klasu spryazhenosti povinen diliti poryadok grupi kozhen klas spryazhenosti H i displaystyle H i takozh maye poryadok rivnij deyakomu stepenyu p k i displaystyle p k i 0 lt k i lt n displaystyle 0 lt k i lt n i todi z rivnyannya klasiv spryazhenosti viplivaye sho G p n Z G S i p k i displaystyle G p n Z G Sigma i p k i dd zvidsi u svoyu chergu viplivaye sho chislo p displaystyle p maye diliti Z G displaystyle Z G tak sho Z G gt 1 displaystyle Z G gt 1 dlya vsih skinchennih p displaystyle p grup tobto rivnyannya klasiv spryazhenosti dozvolyaye vstanoviti sho bud yaka skinchenna p displaystyle p grupa maye netrivialnij centr dd Klasi spryazhenosti u fundamentalnij grupi linijno zv yaznogo topologichnogo prostoru mozhna rozglyadati yak klasi ekvivalentnosti en pri vilnij gomotopiyi Variaciyi ta uzagalnennyaDlya dovilnoyi pidmnozhini ne obov yazkovo pidgrupi S G displaystyle S subseteq G pidmnozhinu T G displaystyle T subseteq G nazivayut spryazhenoyu do S displaystyle S yaksho isnuye pevnij element g G displaystyle g in G takij sho T g S g 1 displaystyle T gSg 1 U comu vipadku klas spryazhenosti S displaystyle S mnozhina vsih pidmnozhin T G displaystyle T subseteq G takih sho kozhne T displaystyle T ye spryazhenim S displaystyle S Shiroko zastosovuyetsya teorema zgidno z yakoyu dlya bud yakoyi zadanoyi pidmnozhini S displaystyle S grupi G displaystyle G indeks mnozhini yiyi normalizatora N S displaystyle N S dorivnyuye poryadku yiyi klasu spryazhenosti S displaystyle S S G N S displaystyle S G N S Ce viplivaye z togo sho dlya g h G displaystyle g h in G maye misce g S g 1 h S h 1 displaystyle gSg 1 hSh 1 todi j lishe todi koli g 1 h N S displaystyle g 1 h in N S tobto g displaystyle g i h displaystyle h mistitsya v tomu samomu klasi sumizhnosti normalizatora N S displaystyle N S Pidgrupi mozhna podiliti na klasi spryazhenosti tak sho dvi pidgrupi nalezhat odnomu klasu todi j lishe todi koli voni spryazheni Spryazheni pidgrupi izomorfni ale izomorfni pidgrupi ne obov yazkovo mayut buti spryazhenimi Napriklad abeleva grupa mozhe mistiti dvi rizni izomorfni pidgrupi ale voni nikoli ne budut spryazhenimi Div takozhLemma Bernsajda Topologichna spryazhenist en PrimitkiGrillet 2007 s 56 Grillet 2007 s 57 Dzherela ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Pierre Antoine Grillet Abstract algebra 2 Springer 2007 T 242 Graduate texts in mathematics ISBN 978 0 387 71567 4