Скінченна p-група

Група називається скінченною ${\displaystyle p}$-групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.

Основні властивості скінченних p-груп

Нехай ${\displaystyle P}$ — скінченна ${\displaystyle p}$-група, тоді

• ${\displaystyle P}$ — нільпотентна;
• ${\displaystyle |Z(P)|>1}$, де ${\displaystyle Z(P)}$ — центр групи P;
• для будь-кого ${\displaystyle 1\leq k<n}$ в ${\displaystyle P}$ існує нормальна підгрупа порядку ${\displaystyle p^{k}}$;
• якщо ${\displaystyle H}$ нормальна в ${\displaystyle P}$, то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$;
• ${\displaystyle P'\leq \Phi (P)}$;
• ${\displaystyle P/\Phi (P)\cong E_{p^{d}}}$.

Деякі класи скінченних p-груп

У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних ${\displaystyle p}$-груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.

p-групи максимального класу

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу порядку ${\displaystyle p^{n}}$називають групою максимального класу, якщо її (степінь нільпотентності) дорівнює ${\displaystyle n-1}$.

Якщо ${\displaystyle P}$ — скінченна ${\displaystyle p}$-група максимального класу, то ${\displaystyle P'=\Phi (P)}$ і ${\displaystyle |Z(P)|=p}$.

Єдиними 2-групами порядку ${\displaystyle 2^{n}}$ максимального класу є: діедральна група ${\displaystyle D_{2^{n}}}$, узагальнена група кватерніонів ${\displaystyle Q_{2^{n}}}$ та напівдіедральна група ${\displaystyle SD_{2^{n}}}$ .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.

p-центральні p-групи

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу називають ${\displaystyle p}$-центральною, якщо ${\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної ${\displaystyle p}$-групи.

Потужні p-групи

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу називають потужною, якщо ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p}}$ при ${\displaystyle p\neq 2}$ і ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4}}$ при ${\displaystyle p=2}$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю ${\displaystyle p}$-центральної ${\displaystyle p}$-групи.

Регулярні p-групи

Скінченну ${\displaystyle p}$-групу ${\displaystyle P}$ називають регулярною, якщо для будь-яких ${\displaystyle x,y\in P}$ виконано ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}}$, де ${\displaystyle c\in P'}$. Регулярними є, наприклад, усі абелеві ${\displaystyle p}$-групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.

• Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної ${\displaystyle p}$-групи регулярна.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група порядку не більшого ${\displaystyle p^{p}}$ є регулярною.
• Скінченна ${\displaystyle p}$-група, клас нільпотентності якої менше ${\displaystyle p}$, є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при ${\displaystyle p>2}$.
• Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних ${\displaystyle p}$-груп порядку ${\displaystyle p^{n}}$

• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p}$ дорівнює 1: група ${\displaystyle C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{2}}$ дорівнює 2: групи ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ і ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{3}}$ дорівнює 5, з них три абелеві групи: ${\displaystyle C_{p^{3}}}$, ${\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}$, ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ і дві неабелеві: при ${\displaystyle p>2}$ — ${\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}$ і ${\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}$ ; при p = 2 — ${\displaystyle D_{4}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{4}}$ дорівнює 15 при ${\displaystyle p>2}$, число груп порядку ${\displaystyle 2^{4}}$ дорівнює 14.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{5}}$ дорівнює ${\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{5}}$ дорівнює 51, число груп порядку ${\displaystyle 3^{5}}$ дорівнює 67.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{6}}$ дорівнює ${\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{6}}$ дорівнює 267, число груп порядку ${\displaystyle 3^{6}}$ дорівнює 504.
• Число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{7}}$ дорівнює ${\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}$ при ${\displaystyle p>5}$. Число груп порядку ${\displaystyle 2^{7}}$ дорівнює 2328, число груп порядку ${\displaystyle 3^{7}}$ дорівнює 9310, число груп порядку ${\displaystyle 5^{7}}$ дорівнює 34297.

p-групи порядку ${\displaystyle p^{n}}$, асимптотика

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неізоморфних груп порядку ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотично дорівнює ${\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}$.

Відомі проблеми теорії кінцевих p-груп

Група автоморфізмів скінченної p-групи

Для груп ${\displaystyle p}$-автоморфізмів скінченної ${\displaystyle p}$-групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:

• Нехай ${\displaystyle P}$ є нециклічною ${\displaystyle p}$-групою порядку ${\displaystyle |P|\geq p^{3}}$ тоді ${\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}$.

Цю гіпотезу підтверджено для великого класу ${\displaystyle p}$-груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше ${\displaystyle p^{7}}$, групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.

Гіпотеза Гігмена

Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку ${\displaystyle q}$ нільпотентна.

• Нехай група ${\displaystyle P}$ має регулярний автоморфізм простого порядку ${\displaystyle q}$. Тоді її клас нільпотентності дорівнює ${\displaystyle cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}}$.

Поки що доведено лише значно слабші оцінки: ${\displaystyle cl(P)<q^{q}}$ (Кострикін, Крекнін).

Послаблена гіпотеза Бернсайда

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з ${\displaystyle m}$ твірними та періодом ${\displaystyle n}$ (тобто всі її елементи ${\displaystyle x}$ задовольняють співвідношенню ${\displaystyle x^{n}=1}$), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через ${\displaystyle B(m,n)}$. Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група ${\displaystyle B(m,2)}$ є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи ${\displaystyle B(m,3)}$ дорівнює ${\displaystyle 3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}}$. Однак, як показали Новіков і Адян, при ${\displaystyle m\geq 2}$ і за будь-якого непарного ${\displaystyle n\geq 4381}$ група ${\displaystyle B(m,n)}$ нескінченна.

Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних ${\displaystyle m}$-породжених груп періоду ${\displaystyle n}$ обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних ${\displaystyle p}$-груп вона означає, що існує лише скінченне число ${\displaystyle p}$-груп даної експоненти та з цим числом твірних.

Нерегулярні p-групи

Класифікація нерегулярних ${\displaystyle p}$-груп порядку ${\displaystyle p^{p+1}}$

Див. також

• GAP (система комп'ютерної алгебри)

Література

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)

• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• ^[en] Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• ^[en] Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• ^[en] Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• ^[en], Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.