Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на (симплектичному просторі), що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.
Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається (симплектичною групою).
Означення
Нехай — (симплектичний векторний простір) і — його (симплектична форма), тобто невироджена (кососиметрична) білінійна форма. Лінійне перетворення називається симплектичним, якщо Матриця називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.
На просторі завжди можна вибрати базис, в якому де і — координати веторів і у цьому базисі. Якщо ввести на скалярний добуток при тих же позначеннях, то отримується рівність:
- де — блочна матриця виду
Визначник матриці рівний 1 і для неї справедливими є рівності
З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:
Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження
Властивості
- З формули і властивостей визначника відразу отримується результат, що Насправді для всіх симплектичних матриць
- Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді
де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам
- З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
- В попередніх позначеннях обернена матриця рівна
- При заміні базису, що задається матрицею , відбувається перетворення матриці
- і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.
- Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці M існує матриця U у множині U(2n,R), для якої
де діагональні елементи матриці D є власними значеннями матриці M.
- Для довільної дійсної симплектичної матриці M полярний розклад рівний :
- Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:
such де O і O' є одночасно симплектичними і ортогональними і D є додатноозначеною і діагональною..
Див. також
- (Симплектичний простір)
Примітки
- "Symplectic Group".
- Ferraro et. al., 2005 Section 1.3.
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет