Блочна матриця

Блочна матриця — матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

Приклад

Матриця ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}}$ складається з наступних блоків (матриць): ${\displaystyle P_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},P_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},P_{21}={\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}},P_{22}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}}.}$

І може бути записана як блочна матриця

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}.}$

Множення блочних матриць

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}}$ — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}}$ — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

${\displaystyle C=AB}$

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{s}A_{ik}B_{kj}.}$

Або, використовуючи нотацію Ейнштейна, цю формулу можна записати так:

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

Обернена до блочної матриця

Див. також: Невироджена матриця#Обернення блоками

Нехай A, B, C, D є матрицями розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно і P — наступна блочна матриця:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

Якщо A і доповнення Шура D - CA^-1B для блоку A матриці P є оборотними матрицями, то

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Якщо D і доповнення Шура A - BD^-1C для блоку D матриці P є оборотними матрицями, то

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Якщо наведені вище умови виконуються разом, то

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I_{q}\end{pmatrix}}.}$

Визначник блочної матриці

Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A, B, C, D розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова, можна вивести формулу визначника, яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Якщо A — оборотна матриця, то

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}$

Якщо D — оборотна матриця, то

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$

Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

Якщо A і B комутують, то ${\displaystyle \det P=\det(DA-CB).}$

Якщо A і C комутують, то ${\displaystyle \det P=\det(AD-CB).}$

Якщо B і D комутують, то ${\displaystyle \det P=\det(DA-BC).}$

Якщо C і D комутують, то ${\displaystyle \det P=\det(AD-BC).}$

Блочні діагональні матриці

Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}},}$

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ ${\displaystyle \oplus }$ A₂ ${\displaystyle \oplus \,\ldots \,\oplus }$ A_n чи  diag(A₁, A₂,${\displaystyle \ldots }$, A_n).

Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:

${\displaystyle \det A=\prod _{k=1}^{n}\det A_{k}}$,

${\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {tr} A_{k}}$.

Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Для довільного натурального m буде:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}A_{1}^{m}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{m}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{m}\end{pmatrix}}.}$

Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень.

Блочна тридіагональна матриця

Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті (тридіагональна матриця), але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{pmatrix}}}$

де A_k, B_k та C_k - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для (LU-розкладу), і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. (Алгоритм Томаса), який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з (тридіагональною матрицею) також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сума

Докладніше:

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A ${\displaystyle \oplus }$ B) буде матриця

${\displaystyle A\oplus B={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}.}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Див. також

• Добуток Кронекера
• Жорданова нормальна форма

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• (Strang, Gilbert) (1999). Lecture 3: Multiplication and inverse matrices. MIT Open Course ware. 18:30–21:10.

Примітки

1. Dennis Bernstein. Matrix Mathematics. — Princeton University Press, 2005. — 44 с. — .
2. Silvester, J. R. (2000). (PDF). Math. Gaz. 84 (501): 460—467. doi:10.2307/3620776. JSTOR 3620776. Архів оригіналу (PDF) за 18 березня 2015. Процитовано 25 червня 2021.
3. Sothanaphan, Nat (January 2017). Determinants of block matrices with noncommuting blocks. Linear Algebra and Its Applications. 512: 202—218. arXiv:1805.06027. doi:10.1016/j.laa.2016.10.004. S2CID 119272194.