У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A, B, C, D є матриці відповідно p×p, p×q, q×p і q×q, і D оборотна. Нехай
так що M — це матриця (p+q)×(p+q).
Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p×p
Його назвали на честь , який використав його для доведення леми Шура, хоча його використовували і до того.
Підґрунтя
Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю
Тут Ip позначає одиничну матрицю p×p. Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p×p блоку. Матрицю добутку така
Це аналогічно до (LDU-розкладу матриці). Тобто, ми щойно показали, що
отже, обернена до M можна представити за участю D−1 і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як
Якщо M — симетрична додатноозначена матриця, то й так само буде доповнення Щура для D у M.
Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A, B, C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:
за умови, що AD − BC не нуль.
Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою
яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.
Умови на (додатню) визначеність і додатню напіввизначеність
Нехай X — це симетрична матриця задана так
Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X, тобто
і X/C буде доповненням Щура для C в X, тобто
Тоді
- X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені:
.
- X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені:
.
- Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною:
,
.
- Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною:
,
.
Перше і третє твердження можна отримати через розгляд мінімізатора величини
як функції від v (для фіксованого u).
Далі, оскільки
і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.
Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура. А саме,
і
де позначає для
.
Див. також
- Матрична тотожність Вудбурі
- (Лема обернення матриці)
Примітки
- Zhang, Fuzhen (2005). The Schur Complement and Its Applications. Springer. doi:10.1007/b105056. ISBN .
- Schur Complement Lemma [ 10 серпня 2016 у Wayback Machine.] на berkeley.edu
- Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004), "Convex Optimization", Cambridge University Press (Appendix A.5.5)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет