Лема обернення матриці

Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

${\displaystyle \ \det(A)\neq 0.}$

Властивості

• Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.
• Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.
• У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.
• Якщо матриця ${\displaystyle \ A}$ — невироджена, то система рівнянь ${\displaystyle \ Ax=0}$ має тільки нульовий розв'язок.
• Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

Приклад

• Одинична матриця є невиродженою.
• Матриця повороту є невиродженою.

Методи обернення матриці

Метод Гауса

Див. також: (Метод Гауса#Знаходження оберненої матриці)

Метод Ньютона

Метод Гамільтона — Келі

Власний розклад матриці

Розклад Холецького

Аналітичний розв'язок

Обернення блоками

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\\-(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (1)\,}$

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA⁻¹B повинна бути невиродженою.) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA⁻¹B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD⁻¹C , результатом є

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&-(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle (2)\,}$

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle (3)\,}$

${\displaystyle (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\,}$

${\displaystyle \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}=(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\,}$

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення ${\displaystyle n\times n}$ матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.

Через ряд Неймана

...

Див. також

• Теорія матриць
• Вироджена матриця
• Союзна матриця

Примітки

1. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 44. ISBN .
2. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 45. ISBN .
3. Т. Кормен; Ч. Лейзерсон; Р. Рівест; К. Стайн (2009) [1990]. 28.2 Обернення матриць. Вступ до алгоритмів (вид. 3rd). MIT Press і McGraw-Hill. ISBN .

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)