Метричний тензор — тензор другого рангу на гладкому многовиді, що задає його локальні властивості, зокрема визначає скалярний добуток. Простими словами,метричний тензор дозволяє вимірювати відстані та довжини на викривленому просторі.
Метричний тензор використовується в загальній теорії відносності як метрика простору-часу і є фундаментом для того,щоб описати простір-час навколо нас
Вимірювання відстані в координатах
Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі та об'єми (в тому числі -вимірні об'єми) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д. Розглянемо спочатку прямокутну декартову систему координат
в
-вимірному просторі. Як відомо з аналітичної геометрії, квадрат відстані між двома точками
і
дається наступною формулою, яка є узагальненням теореми Піфагора:
де індексами внизу позначено, до якої точки дана координата відноситься.
Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок. Позначимо їх - точка з координатами
і точка
з координатами
. Відстань між цими точками позначимо
, тоді формула (1) в нових позначеннях (диференціалах) перепишеться так:
Якщо від прямокутної декартової системи координат перейти в будь-яку іншу, в загальному випадку криволінійну, то вид формули (2) як суми квадратів не збережеться. Позначимо координати нової системи . Тоді диференціали старих і нових координат пов'язані формулами:
і для квадрат\а відстані (2) ми одержуємо квадратичну форму щодо диференціалів нових координат:
де коефіцієнти дорівнюють сумі:
В формулах (3), (4) всі суми беруться по індексах, що повторюються в межах від першого (1) до останнього індекса (). Тому для спрощення виду формул доцільно в цих формулах не писати знак суми (правило Ейнштейна). З використанням правила Ейнштейна формула (4) запишеться так:
Вимірювання відстані на многовиді, вміщеному в евклідовий простір
Нехай маємо -вимірний евклідовий простір з координатами
. Радіус-вектор точки позначимо через
:
Розглянемо в цьому просторі -вимірний многовид, заданий параметрично через
. Точки многовида визначаються через деякі функції радіус-вектора від цих параметрів:
Тоді дві близькі точки многовида утворюють вектор зміщення:
а квадрат відстані дорівнює скалярному квадрату вектора зміщення:
Тобто ми знову отримали формулу (6), але коефіцієнти даються іншими аніж (5) за виглядом, але аналогічними формулами:
Дійсно, розписавши скалярний добуток в (11) як суму попарних добутків компонент векторів і
, ми одержимо (5), але кількість доданків буде взагалі кажучи більшою:
. Рівність досягається, коли многовид є евклідовим простором, який вміщено сам в себе.
Перетворення при заміні координат
Нехай на многовиді задано ще одну (нову) координат , координати якої ми позначимо шляпками, щоб відрізнити від старої системи координат. Ясно, що існує взаємно-однозначна відповідність між старою і новою системою координат через посередництво точок многовиду. А саме, набір якихось
чисел
задає деяку точку
на многовиді, а ця точка
має координати
в новій системі координат. Цю відповідність ми можемо записати через набір функцій:
які виражають нові координати через старі. Оскільки ця відповідність взаємно-однозначна, то і навпаки, нові координати можна виразити через старі:
Ми вважатимемо ці функції диференційовними. Тоді диференціали цих координат (для двох нескінченно близьких точок) пов'язані формулами:
Підставляючи (14) в (6), знаходимо:
і коефіцієнти метрики в новій системі координат дорівнюють
З цієї формули ми бачимо, що коефіцієнти метрики утворюють двічі коваріантний тензор.
Внутрішня геометрія
Маючи метричний тензор , ми можемо обчислювати всі геометричні характеристики фігур, що містяться всередині многовиду. Нехай наприклад задано криву лінію в параметричній формі
. Тоді ми можемо обчислити довжину дуги цієї кривої (при зміні параметра
в межах відрізка
), сумуючи відстані всіх сусідніх точок і переходячи до інтегралу:
Далі, ми можемо обчислювати скалярні добутки дотичних до многовиду векторів. Нехай задано два дотичні вектори і
. Розкладемо їх по базису системи координат:
тоді їхній скалярний добуток дорівнює:
Маючи скалярний добуток, ми можемо обчислювати довжини векторів:
і кути між двома векторами:
Цю ж формулу можна використовувати для обчислення кута між двома кривими в точці перетину. Для цього в (21) треба підставити дотичні вектори до цих кривих.
Далі, пошук найкоротшої кривої між двома точками многовиду приводить до рівняння геодезичної лінії, яке з очевидністю залежить лише від метричного тензора та його похідних по координатах. Геодезична лінія є аналогом прямої в евклідовому просторі. З відрізків геодезичних ми можемо конструювати трикутник та інші закнені і незамкнені ламані. Уміючи шукати кути між кривими за формулою (21), ми можемо визначити кути геодезичного трикутника, та як вони залежать від довжин сторін (формула (17) для геодезичних).
Далі, ми можемо обчислити площу паралелограма, що побудований на векторах і
:
де введено позначення метричної матрьошки (див. також статтю Одиничний антисиметричний тензор):
Маючи якусь гладку двовимірну поверхню всередині многовида, ми можемо розбити її на маленькі паралелограми, і скориставшись формулою (22) знайти площу кожного з цих паралелограмів. Додаючи всі ці площі, і переходячи до інтегрування, ми очевидно можемо знайти площу всієї поверхні
.
Аналогічно ми можемо -вимірний об'єм будь-якого
-вимірного підмноговиду (
), в тому числі об'єм самого многовиду:
де буквою позначено визначник метриці метричного тензора:
Аналогічно до геодезичної лінії, ми можемо розглядати вищих розмірностей. Наприклад, ми можемо "натягнути" мінімальну двовимірну поверхню на трикутник, складений з відрізків геодезичних - і таким чином обчислити площу цього трикутника.
Далі, вимірюючи відрізки геодезичних, ми можемо говорити про відстань між двома віддаленими точками многовида. Користуючись поняттям відстані, ми можемо розглядати такі геометричні об'єкти як куля і гіперсфера всередині многовида з центром в якійсь точці цього многовида.
Абстрактні многовиди
Оскільки метричного тензора виявляється достатньо, щоб обчислювати різні властивості фігур всередині многовида, ми можемо абстрагуватися від зовнішнього евклідового простору (розмірності ) і обмежитися тільки вивченням метричного тензора
і його похідних: символів Крістофеля та тензора внутрішньої кривини Рімана. Прикладом абстрактного розгляду многовиду є сферична геометрія та геометрія Лобачевського.
Обернений метричний тензор
Окрім метричного тензора ми можемо розглянути ще один тензор другого рангу
з одним верхнім та одним нижнім індексами. В старій системі координат
координати цього тензора утворюють одиничну матрицю:
Обчислимо координати цього одиничного тензора в новій системі координат . Маємо за тензорними правилами:
оскільки матриці переходу між цими системами координат
є взаємно оберненими матрицями.
Формула (27) показує, що компоненти тензора утворюють одиничну матрицю не лише в старій, а взагалі в будь-якій системі координат. Постає питання, які ще тензори ми можемо утворити, маючи метричний тензор
і одиничний тензор
? Додавати ці тензори покомпонентно ми не можемо, оскільки вони по-різному змінюються при заміні координат. Звернемося до алгебри матриць. Маючи матрицю
ми можемо підносити її до квадрату, кубу, брати обернену матрицю, і взагалі розглядати функцію від матриці, що задається збіжним степенним рядом зі скалярними коефіцієнтами:
Можна перевірити, що з усіх таких функцій лише пряма пропорційність та обернена пропорційність утворюють тензор — тобто правильно змінюються при заміні координат:
Ясно, що обернена матриця перетворюється за законами двічі контраваріантного тензора. Цей тензор прийнято позначати тією ж літерою
, що і метричний тензор
, але з двома верхніми індексами і називати оберненим метричним тензором. Із означення маємо:
Жонглювання індексами
Метричний тензор разом зі своїм оберненим дозволяє встановити еквівалентність між коваріантними та контраваріантними тензорами. Це здійснюється за допомогою формули опускання індексів через згортку з метричним тензором, наприкдад:
і піднімання індексів через згортку з оберненим метричним тензором, наприклад:
Оскільки тензори та
взаємно обернені (формула 31), то після послідовного застосування двох операцій: підняти індекс а тоді опустити, або навпаки, опустити індекс а тоді підняти — ми повернемося до оригінального тензора, що був на початку, наприклад:
Піднімання та опускання індексів за допомогою метричного тензора називається жонглюванням індексами. В результаті піднімання одного індекса в самому метричному тензорі ми одержимо одиничний тензор
:
Піднявши ще один індекс метричного тензора, ми прийдемо до оберненого метричного тензора:
Із формул (35) і (36) ми бачимо, що з точністю до жонглювання індексів тензори ,
і
представляють один і той же тензор. Отже ми вчинили розумно, позначивши обернений метричний тензор
тією ж буквою
, що і метричний тензор
. Порівняємо формули піднімання двох індексів для довільного тензора
і для метричного тензора
:
Коваріантне диференціювання
Коварінтна похідна тензора
дається формулою:
Обчислимо спочатку коваріантну похідну одиничного тензора:
Як бачимо, що ця похідна дорівнює нулю завжди, не тільки для символів Крістофеля, але і для загальнішого випадку коефіцієнтів афінної зв'язності. Перейдемо тепер до метричного тензора. В охоплюючому евклідовому просторі друга похідна радіус-вектора
розгладається на дотичну до многовида складову, і на ортогональну
:
домножуючи обидві частини цього рівняння скалярно на вектор , одержуємо:
Звідси маємо для частинних похідних метричного тензора формулу:
Користуючись рівнянням (42), знаходимо коваріантну похідну метричного тензора:
Отже коваріантні похідні метричного тензора і одиничного
дорівнюють нулю. Це також означає, що ці тензори перестановочні зі значком коваріантної похідної
:
Перевіримо для повноти картини, що коваріантна похідна оберненого метричного тензора також дорівнює нулю:
Метричний тензор як образ многовида, та аналогія із задачами машинного зору
Метричний тензор можна розглядати як набір
функцій від координат
. Оскільки ми можемо брати різні системи координат для одного й того ж многовида, то ми матимемо і різний набір функцій. Це еквівалентно тому, як ми можемо сфотографувати один і той самий предмет під різними ракурсами. В загальному випадку задача розпізнати на двох фотографіях один і той же об'єкт виявляється дуже складною для комп'ютера, універсальний алгоритм розпізнавання ще невідомий. Те ж із метричним тензором - маючи два набори
функцій, ми не можемо відразу сказати, чи представляють вони один і той же многовид у різних системах координат. Але у двох випадках цей аналіз виявляється нескладним.
Простір постійної кривини
Перший простий випадок — це простір постійної кривини, в якому тензор Рімана пропорційний метричній матрьошці четвертого рангу з постійним коефіцієнтом пропорційності :
Ми можемо перевірити для двох наборів функцій , і
чи задовольняють вони рівняння (46) з одним і тим же коефіцієнтом
. Продовжуючи аналогію з фотографіями, це еквівалентно, що ми маємо дві рівномірно засвічені фотографії, всі пікселі бітмапи дорівнюють одному і тому ж числу.
Мала деформація системи координат
Другий простий випадок - коли система координат зміщується на малий вектор :
Малість зміщення означає, що ми можемо розкласти функції метричного тензора в ряд Тейлора і обмежитися лінійним членом:
Знайдемо варіацію компонент метричного тензора (різниця функцій при одних і тих же аргументах):
Підставимо (49) в (48):
Далі, запишемо формулу заміни координат:
Матриці переходу для функцій (47) легко обчислюються:
Підставимо (52) і (50) в (51):
Розкриємо дужки, зберігаючи лише постійні та лінійні по доданки. Після скорочень одержуємо:
звідки
Ця формула застосовується для виводу лінеаризованого рівняння Ейнштейна в теорії гравітації. Аналогом цього випадку в машинній обробці зображень є алгоритм лінійного стеження за рухомими об'єктами по двох суміжних кадрах відеокамери. Дана аналогія лише концептуальна, формули виходять різні.
Узагальнення
Метричний тензор допускає узагальнення, яке не обмежується дійсними додатньо-визначеними матрицями — .
У псевдометриці більшість формул внутрішньої геометрії залишаються незмінними — можна розглядати поняття геодезичної лінії, коваріатного диференціювання, тензора Рімана. Але невизначеність знаків вносить корективи в інтерпретацію цих понять. Зокрема, геодезична лінія не завжди є найкоротшим шляхом, поняття відстані стає складнішим, ніж у евклідовому випадку (це може бути корінь з від'ємного числа). До вивчення псевдометрики спонукають властивості фізичного простору, в якому ми живемо.
Див. також
Література
- Метричний тензор // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 60.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metrichnij tenzor tenzor drugogo rangu na gladkomu mnogovidi sho zadaye jogo lokalni vlastivosti zokrema viznachaye skalyarnij dobutok Prostimi slovami metrichnij tenzor dozvolyaye vimiryuvati vidstani ta dovzhini na vikrivlenomu prostori Metrichnij tenzor vikoristovuyetsya v zagalnij teoriyi vidnosnosti yak metrika prostoru chasu i ye fundamentom dlya togo shob opisati prostir chas navkolo nasVimiryuvannya vidstani v koordinatahVelichini yaki stosuyutsya geometriyi ce vidstani dovzhini krivih ploshi ta ob yemi v tomu chisli m displaystyle m vimirni ob yemi geometrichnih figur a takozh kuti mizh vektorami pryamimi i t d Rozglyanemo spochatku pryamokutnu dekartovu sistemu koordinat x1 x2 xn displaystyle x 1 x 2 dots x n v n displaystyle n vimirnomu prostori Yak vidomo z analitichnoyi geometriyi kvadrat vidstani mizh dvoma tochkami A displaystyle A i B displaystyle B dayetsya nastupnoyu formuloyu yaka ye uzagalnennyam teoremi Pifagora 1 AB 2 i 1n xBi xAi 2 xB1 xA1 2 xB2 xA2 2 xBn xAn 2 displaystyle 1 qquad big AB big 2 sum i 1 n x B i x A i 2 x B 1 x A 1 2 x B 2 x A 2 2 dots x B n x A n 2 de indeksami vnizu poznacheno do yakoyi tochki dana koordinata vidnositsya Mi ne mozhemo bezposeredno poshiriti formulu 1 na vimiryuvannya dovzhin krivih oskilki dovzhina zalezhit ne tilki vid polozhennya dvoh krajnih tochok ale i vid polozhennya usih promizhnih tochok a takozh dlya vimiryuvannya vseredini krivih mnogovidiv oskilki v nih navit ne isnuye dekartovoyi sistemi koordinat Ale v oboh cih vipadkah analogichnu formulu mi mozhemo napisati dlya dvoh neskinchenno blizkih tochok Poznachimo yih tochka P displaystyle P z koordinatami x1 x2 xn displaystyle x 1 x 2 dots x n i tochka P displaystyle P z koordinatami x1 dx1 x2 dx2 xn dxn displaystyle x 1 dx 1 x 2 dx 2 dots x n dx n Vidstan mizh cimi tochkami poznachimo ds displaystyle ds todi formula 1 v novih poznachennyah diferencialah perepishetsya tak 2 ds2 i 1n dxi 2 displaystyle 2 qquad ds 2 sum i 1 n left dx i right 2 Yaksho vid pryamokutnoyi dekartovoyi sistemi koordinat perejti v bud yaku inshu v zagalnomu vipadku krivolinijnu to vid formuli 2 yak sumi kvadrativ ne zberezhetsya Poznachimo koordinati novoyi sistemi u1 u2 un displaystyle u 1 u 2 dots u n Todi diferenciali starih i novih koordinat pov yazani formulami 3 dxi j 1n xi ujdujdui j 1n ui xjdxj displaystyle 3 qquad dx i sum j 1 n partial x i over partial u j du j qquad du i sum j 1 n partial u i over partial x j dx j i dlya kvadrat a vidstani 2 mi oderzhuyemo kvadratichnu formu shodo diferencialiv novih koordinat 4 ds2 i 1n j 1n k 1n xi ujduj xi ukduk j k 1ngjkdujduk displaystyle 4 qquad ds 2 sum i 1 n sum j 1 n sum k 1 n left partial x i over partial u j du j right left partial x i over partial u k du k right sum j k 1 n g jk du j du k de koeficiyenti gjk displaystyle g jk dorivnyuyut sumi 5 gjk i 1n xi uj xi uk displaystyle 5 qquad g jk sum i 1 n partial x i over partial u j partial x i over partial u k V formulah 3 4 vsi sumi berutsya po indeksah sho povtoryuyutsya v mezhah vid pershogo 1 do ostannogo indeksa n displaystyle n Tomu dlya sproshennya vidu formul docilno v cih formulah ne pisati znak sumi pravilo Ejnshtejna Z vikoristannyam pravila Ejnshtejna formula 4 zapishetsya tak 6 ds2 gijduiduj displaystyle 6 qquad ds 2 g ij du i du j Vimiryuvannya vidstani na mnogovidi vmishenomu v evklidovij prostirNehaj mayemo N displaystyle N vimirnij evklidovij prostir z koordinatami x1 x2 xN displaystyle x 1 x 2 dots x N Radius vektor tochki poznachimo cherez r displaystyle mathbf r 7 r x1 x2 xN displaystyle 7 qquad mathbf r x 1 x 2 dots x N Rozglyanemo v comu prostori n displaystyle n vimirnij mnogovid zadanij parametrichno cherez u1 u2 un displaystyle u 1 u 2 dots u n Tochki mnogovida viznachayutsya cherez deyaki funkciyi radius vektora vid cih parametriv 8 r r u1 u2 un displaystyle 8 qquad mathbf r mathbf r u 1 u 2 dots u n Todi dvi blizki tochki mnogovida utvoryuyut vektor zmishennya 9 dr ridui ri r ui displaystyle 9 qquad d mathbf r mathbf r i du i qquad left mathbf r i partial mathbf r over partial u i right a kvadrat vidstani dorivnyuye skalyarnomu kvadratu vektora zmishennya 10 ds2 dr dr ri rj duiduj gijduiduj displaystyle 10 qquad ds 2 d mathbf r cdot d mathbf r mathbf r i cdot mathbf r j du i du j g ij du i du j Tobto mi znovu otrimali formulu 6 ale koeficiyenti dayutsya inshimi anizh 5 za viglyadom ale analogichnimi formulami 11 gij ri rj displaystyle 11 qquad g ij mathbf r i cdot mathbf r j Dijsno rozpisavshi skalyarnij dobutok v 11 yak sumu poparnih dobutkiv komponent vektoriv ri displaystyle mathbf r i i rj displaystyle mathbf r j mi oderzhimo 5 ale kilkist dodankiv bude vzagali kazhuchi bilshoyu N n displaystyle N geq n Rivnist dosyagayetsya koli mnogovid ye evklidovim prostorom yakij vmisheno sam v sebe Peretvorennya pri zamini koordinatNehaj na mnogovidi zadano she odnu novu koordinat u 1 u 2 u n displaystyle hat u 1 hat u 2 dots hat u n koordinati yakoyi mi poznachimo shlyapkami shob vidrizniti vid staroyi sistemi koordinat Yasno sho isnuye vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh staroyu i novoyu sistemoyu koordinat cherez poserednictvo tochok mnogovidu A same nabir yakihos n displaystyle n chisel u1 u2 un displaystyle u 1 u 2 dots u n zadaye deyaku tochku P displaystyle P na mnogovidi a cya tochka P displaystyle P maye koordinati u 1 u 2 u n displaystyle hat u 1 hat u 2 dots hat u n v novij sistemi koordinat Cyu vidpovidnist mi mozhemo zapisati cherez nabir funkcij 12 u i u i u1 u2 un displaystyle 12 qquad hat u i hat u i u 1 u 2 dots u n yaki virazhayut novi koordinati cherez stari Oskilki cya vidpovidnist vzayemno odnoznachna to i navpaki novi koordinati mozhna viraziti cherez stari 13 ui ui u 1 u 2 un displaystyle 13 qquad u i u i hat u 1 hat u 2 dots u n Mi vvazhatimemo ci funkciyi diferencijovnimi Todi diferenciali cih koordinat dlya dvoh neskinchenno blizkih tochok pov yazani formulami 14 du i u i ujduj dui ui u jdu j displaystyle 14 qquad d hat u i partial hat u i over partial u j du j qquad du i partial u i over partial hat u j d hat u j Pidstavlyayuchi 14 v 6 znahodimo 15 ds2 gij ui u k uj u ldu kdu l displaystyle 15 qquad ds 2 g ij partial u i over partial hat u k partial u j over partial hat u l d hat u k d hat u l i koeficiyenti g kl displaystyle hat g kl metriki v novij sistemi koordinat dorivnyuyut 16 g kl gij ui u k uj u l displaystyle 16 qquad hat g kl g ij partial u i over partial hat u k partial u j over partial hat u l Z ciyeyi formuli mi bachimo sho koeficiyenti metriki utvoryuyut dvichi kovariantnij tenzor Vnutrishnya geometriyaMayuchi metrichnij tenzor gij displaystyle g ij mi mozhemo obchislyuvati vsi geometrichni harakteristiki figur sho mistyatsya vseredini mnogovidu Nehaj napriklad zadano krivu liniyu v parametrichnij formi ui ui t displaystyle u i u i t Todi mi mozhemo obchisliti dovzhinu dugi ciyeyi krivoyi pri zmini parametra t displaystyle t v mezhah vidrizka a b displaystyle a b sumuyuchi vidstani vsih susidnih tochok i perehodyachi do integralu 17 L abds abgijduiduj abgiju iu jdt displaystyle 17 qquad L int a b ds int a b sqrt g ij du i du j int a b sqrt g ij dot u i dot u j dt Dali mi mozhemo obchislyuvati skalyarni dobutki dotichnih do mnogovidu vektoriv Nehaj zadano dva dotichni vektori a displaystyle mathbf a i b displaystyle mathbf b Rozklademo yih po bazisu sistemi koordinat 18 a airi b biri displaystyle 18 qquad mathbf a a i mathbf r i qquad mathbf b b i mathbf r i todi yihnij skalyarnij dobutok dorivnyuye 19 a b aibj ri rj gijaibj displaystyle 19 qquad mathbf a cdot mathbf b a i b j mathbf r i cdot mathbf r j g ij a i b j Mayuchi skalyarnij dobutok mi mozhemo obchislyuvati dovzhini vektoriv 20 a gijaiaj displaystyle 20 qquad mathbf a sqrt g ij a i a j i kuti mizh dvoma vektorami 21 cos 8 a b a b gijaibjgklakalgpsbpbs displaystyle 21 qquad cos theta mathbf a cdot mathbf b over mathbf a mathbf b g ij a i b j over sqrt g kl a k a l sqrt g ps b p b s Cyu zh formulu mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya kuta mizh dvoma krivimi v tochci peretinu Dlya cogo v 21 treba pidstaviti dotichni vektori do cih krivih Dali poshuk najkorotshoyi krivoyi mizh dvoma tochkami mnogovidu privodit do rivnyannya geodezichnoyi liniyi yake z ochevidnistyu zalezhit lishe vid metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij ta jogo pohidnih po koordinatah Geodezichna liniya ye analogom pryamoyi v evklidovomu prostori Z vidrizkiv geodezichnih mi mozhemo konstruyuvati trikutnik ta inshi zakneni i nezamkneni lamani Umiyuchi shukati kuti mizh krivimi za formuloyu 21 mi mozhemo viznachiti kuti geodezichnogo trikutnika ta yak voni zalezhat vid dovzhin storin formula 17 dlya geodezichnih Dali mi mozhemo obchisliti ploshu paralelograma sho pobudovanij na vektorah a displaystyle mathbf a i b displaystyle mathbf b 22 S2 a b sin 8 2 a 2 b 2 a b 2 gijaiajgklbkbl gikaibkgjlajbl gil jkaiblajbk displaystyle 22 qquad S 2 mathbf a mathbf b sin theta 2 mathbf a 2 mathbf b 2 mathbf a cdot mathbf b 2 g ij a i a j g kl b k b l g ik a i b k g jl a j b l g il jk a i b l a j b k de vvedeno poznachennya metrichnoyi matroshki div takozh stattyu Odinichnij antisimetrichnij tenzor 23 gil jk gijgikgljglk gijgkl gikgjl displaystyle 23 qquad g il jk begin vmatrix g ij amp g ik g lj amp g lk end vmatrix g ij g kl g ik g jl Mayuchi yakus gladku dvovimirnu poverhnyu F displaystyle F vseredini mnogovida mi mozhemo rozbiti yiyi na malenki paralelogrami i skoristavshis formuloyu 22 znajti ploshu kozhnogo z cih paralelogramiv Dodayuchi vsi ci ploshi i perehodyachi do integruvannya mi ochevidno mozhemo znajti ploshu vsiyeyi poverhni F displaystyle F Analogichno mi mozhemo m displaystyle m vimirnij ob yem bud yakogo m displaystyle m vimirnogo pidmnogovidu m n displaystyle m leq n v tomu chisli ob yem samogo mnogovidu 24 V gdu1du2 dun displaystyle 24 qquad V int sqrt g du 1 du 2 dots du n de bukvoyu g displaystyle g poznacheno viznachnik metrici metrichnogo tenzora 25 g det gij g11g12 g1ng21g22 g2n gn1gn2 gnn displaystyle 25 qquad g det g ij begin vmatrix g 11 amp g 12 amp cdots amp g 1n g 21 amp g 22 amp cdots amp g 2n cdots amp cdots amp cdots amp cdots g n1 amp g n2 amp cdots amp g nn end vmatrix Analogichno do geodezichnoyi liniyi mi mozhemo rozglyadati vishih rozmirnostej Napriklad mi mozhemo natyagnuti minimalnu dvovimirnu poverhnyu na trikutnik skladenij z vidrizkiv geodezichnih i takim chinom obchisliti ploshu cogo trikutnika Dali vimiryuyuchi vidrizki geodezichnih mi mozhemo govoriti pro vidstan mizh dvoma viddalenimi tochkami mnogovida Koristuyuchis ponyattyam vidstani mi mozhemo rozglyadati taki geometrichni ob yekti yak kulya i gipersfera vseredini mnogovida z centrom v yakijs tochci cogo mnogovida Abstraktni mnogovidiOskilki metrichnogo tenzora viyavlyayetsya dostatno shob obchislyuvati rizni vlastivosti figur vseredini mnogovida mi mozhemo abstraguvatisya vid zovnishnogo evklidovogo prostoru rozmirnosti N n displaystyle N geq n i obmezhitisya tilki vivchennyam metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij i jogo pohidnih simvoliv Kristofelya ta tenzora vnutrishnoyi krivini Rimana Prikladom abstraktnogo rozglyadu mnogovidu ye sferichna geometriya ta geometriya Lobachevskogo Obernenij metrichnij tenzorOkrim metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij mi mozhemo rozglyanuti she odin tenzor drugogo rangu dji displaystyle delta j i z odnim verhnim ta odnim nizhnim indeksami V starij sistemi koordinat u1 u2 un displaystyle u 1 u 2 dots u n koordinati cogo tenzora utvoryuyut odinichnu matricyu 26 dji 10 001 0 00 1 dji 1 if i j0 if i j displaystyle 26 qquad left delta j i right begin bmatrix 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp 1 amp cdots amp 0 cdots amp cdots amp cdots amp cdots 0 amp 0 amp cdots amp 1 end bmatrix qquad delta j i begin cases 1 amp mbox if i j 0 amp mbox if i neq j end cases Obchislimo koordinati cogo odinichnogo tenzora v novij sistemi koordinat u 1 u 2 u n displaystyle hat u 1 hat u 2 dots hat u n Mayemo za tenzornimi pravilami 27 d ji akibjldlk akibjk dji displaystyle 27 qquad hat delta j i alpha k i beta j l delta l k alpha k i beta j k delta j i oskilki matrici perehodu mizh cimi sistemami koordinat 28 aji u i uj bji ui u j displaystyle 28 qquad alpha j i partial hat u i over partial u j qquad beta j i partial u i over partial hat u j ye vzayemno obernenimi matricyami Formula 27 pokazuye sho komponenti tenzora dji displaystyle delta j i utvoryuyut odinichnu matricyu ne lishe v starij a vzagali v bud yakij sistemi koordinat Postaye pitannya yaki she tenzori mi mozhemo utvoriti mayuchi metrichnij tenzor gij displaystyle g ij i odinichnij tenzor dji displaystyle delta j i Dodavati ci tenzori pokomponentno mi ne mozhemo oskilki voni po riznomu zminyuyutsya pri zamini koordinat Zvernemosya do algebri matric Mayuchi matricyu 28 G gij g11g12 g1ng21g22 g2n gn1gn2 gnn displaystyle 28 qquad G left g ij right begin bmatrix g 11 amp g 12 amp cdots amp g 1n g 21 amp g 22 amp cdots amp g 2n cdots amp cdots amp cdots amp cdots g n1 amp g n2 amp cdots amp g nn end bmatrix mi mozhemo pidnositi yiyi do kvadratu kubu brati obernenu matricyu i vzagali rozglyadati funkciyu vid matrici sho zadayetsya zbizhnim stepennim ryadom zi skalyarnimi koeficiyentami 29 f G i aiGi displaystyle 29 qquad f G sum i infty infty a i G i Mozhna pereviriti sho z usih takih funkcij lishe pryama proporcijnist ta obernena proporcijnist utvoryuyut tenzor tobto pravilno zminyuyutsya pri zamini koordinat 30 g ij bikbjlgklG BTGBG 1 AG 1AT displaystyle 30 qquad hat g ij beta i k beta j l g kl qquad hat G B T GB qquad hat G 1 AG 1 A T Yasno sho obernena matricya G 1 displaystyle G 1 peretvoryuyetsya za zakonami dvichi kontravariantnogo tenzora Cej tenzor prijnyato poznachati tiyeyu zh literoyu gij displaystyle g ij sho i metrichnij tenzor gij displaystyle g ij ale z dvoma verhnimi indeksami i nazivati obernenim metrichnim tenzorom Iz oznachennya mayemo 31 gij G 1gikgkj dji displaystyle 31 qquad left g ij right G 1 qquad g ik g kj delta j i Zhonglyuvannya indeksamiMetrichnij tenzor razom zi svoyim obernenim dozvolyaye vstanoviti ekvivalentnist mizh kovariantnimi ta kontravariantnimi tenzorami Ce zdijsnyuyetsya za dopomogoyu formuli opuskannya indeksiv cherez zgortku z metrichnim tenzorom naprikdad 32 Tikj gksTijs displaystyle 32 qquad T i k j g ks T i js i pidnimannya indeksiv cherez zgortku z obernenim metrichnim tenzorom napriklad 33 Tijk gisTsjk displaystyle 33 qquad T ijk g is T s jk Oskilki tenzori gij displaystyle g ij ta gij displaystyle g ij vzayemno oberneni formula 31 to pislya poslidovnogo zastosuvannya dvoh operacij pidnyati indeks a todi opustiti abo navpaki opustiti indeks a todi pidnyati mi povernemosya do originalnogo tenzora sho buv na pochatku napriklad 34 ai gijaj gijgjk ak dkiak ai displaystyle 34 qquad a i g ij a j left g ij g jk right a k delta k i a k a i Pidnimannya ta opuskannya indeksiv za dopomogoyu metrichnogo tenzora nazivayetsya zhonglyuvannyam indeksami V rezultati pidnimannya odnogo indeksa v samomu metrichnomu tenzori gij displaystyle g ij mi oderzhimo odinichnij tenzordji displaystyle delta j i 35 gji gikgkj dji displaystyle 35 qquad g j i g ik g kj delta j i Pidnyavshi she odin indeks metrichnogo tenzora mi prijdemo do obernenogo metrichnogo tenzora 36 gikgkj gikdkj gij displaystyle 36 qquad g ik g k j g ik delta k j g ij Iz formul 35 i 36 mi bachimo sho z tochnistyu do zhonglyuvannya indeksiv tenzori gij displaystyle g ij dji displaystyle delta j i i gij displaystyle g ij predstavlyayut odin i toj zhe tenzor Otzhe mi vchinili rozumno poznachivshi obernenij metrichnij tenzor gij displaystyle g ij tiyeyu zh bukvoyu g displaystyle g sho i metrichnij tenzor gij displaystyle g ij Porivnyayemo formuli pidnimannya dvoh indeksiv dlya dovilnogo tenzora aij displaystyle a ij i dlya metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij 37 aij gikgjlakl gij gikgjlgkl displaystyle 37 qquad a ij g ik g jl a kl qquad g ij g ik g jl g kl Kovariantne diferenciyuvannyaKovarintna pohidna p displaystyle nabla p tenzora Tkl ij displaystyle T kl dots ij dots dayetsya formuloyu 38 pTkl ij pTkl ij GpsiTkl sj GpsjTkl is GpksTsl ij GplsTks ij displaystyle 38 qquad nabla p T kl dots ij dots partial p T kl dots ij dots Gamma ps i T kl dots sj dots Gamma ps j T kl dots is dots dots Gamma pk s T sl dots ij dots Gamma pl s T ks dots ij dots dots Obchislimo spochatku kovariantnu pohidnu odinichnogo tenzora 39 kdji kdji Gksidjs Gkjsdsi 0 Gkji Gkji 0 displaystyle 39 qquad nabla k delta j i partial k delta j i Gamma ks i delta j s Gamma kj s delta s i 0 Gamma kj i Gamma kj i 0 Yak bachimo sho cya pohidna dorivnyuye nulyu zavzhdi ne tilki dlya simvoliv Kristofelya ale i dlya zagalnishogo vipadku koeficiyentiv afinnoyi zv yaznosti Perejdemo teper do metrichnogo tenzora V ohoplyuyuchomu evklidovomu prostori druga pohidna rij displaystyle mathbf r ij radius vektora r displaystyle mathbf r rozgladayetsya na dotichnu do mnogovida skladovu i na ortogonalnu bij displaystyle mathbf b ij 40 rij Gijsrs bij displaystyle 40 qquad mathbf r ij Gamma ij s mathbf r s mathbf b ij domnozhuyuchi obidvi chastini cogo rivnyannya skalyarno na vektor rk displaystyle mathbf r k oderzhuyemo 41 rij rk Gijs rs rk Gijsgsk Gij k displaystyle 41 qquad mathbf r ij cdot mathbf r k Gamma ij s mathbf r s cdot mathbf r k Gamma ij s g sk Gamma ij k Zvidsi mayemo dlya chastinnih pohidnih metrichnogo tenzora formulu 42 kgij rki rj ri rkj Gki j Gkj i displaystyle 42 qquad partial k g ij mathbf r ki cdot mathbf r j mathbf r i cdot mathbf r kj Gamma ki j Gamma kj i Koristuyuchis rivnyannyam 42 znahodimo kovariantnu pohidnu metrichnogo tenzora 43 kgij kgij Gkisgsk Gkjsgis kgij Gki j Gkj i 0 displaystyle 43 qquad nabla k g ij partial k g ij Gamma ki s g sk Gamma kj s g is partial k g ij Gamma ki j Gamma kj i 0 Otzhe kovariantni pohidni metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij i odinichnogo dji displaystyle delta j i dorivnyuyut nulyu Ce takozh oznachaye sho ci tenzori perestanovochni zi znachkom kovariantnoyi pohidnoyi displaystyle nabla 44 k gijvj gij kvj k djivj dji kvj displaystyle 44 qquad nabla k left g ij v j right g ij nabla k v j qquad nabla k left delta j i v j right delta j i nabla k v j Perevirimo dlya povnoti kartini sho kovariantna pohidna obernenogo metrichnogo tenzora gij displaystyle g ij takozh dorivnyuye nulyu 45 kgij k dsigsj dsi kgsj gipgps kgsj gip k gpsgsj gip kdpj 0 displaystyle 45 qquad nabla k g ij nabla k left delta s i g sj right delta s i nabla k g sj g ip g ps nabla k g sj g ip nabla k left g ps g sj right g ip nabla k delta p j 0 Metrichnij tenzor yak obraz mnogovida ta analogiya iz zadachami mashinnogo zoruMetrichnij tenzor gij displaystyle g ij mozhna rozglyadati yak nabir N n n 1 2 displaystyle N n n 1 over 2 funkcij vid koordinat u1 u2 un displaystyle u 1 u 2 dots u n Oskilki mi mozhemo brati rizni sistemi koordinat dlya odnogo j togo zh mnogovida to mi matimemo i riznij nabir funkcij Ce ekvivalentno tomu yak mi mozhemo sfotografuvati odin i toj samij predmet pid riznimi rakursami V zagalnomu vipadku zadacha rozpiznati na dvoh fotografiyah odin i toj zhe ob yekt viyavlyayetsya duzhe skladnoyu dlya komp yutera universalnij algoritm rozpiznavannya she nevidomij Te zh iz metrichnim tenzorom mayuchi dva nabori N n n 1 2 displaystyle N n n 1 over 2 funkcij mi ne mozhemo vidrazu skazati chi predstavlyayut voni odin i toj zhe mnogovid u riznih sistemah koordinat Ale u dvoh vipadkah cej analiz viyavlyayetsya neskladnim Prostir postijnoyi krivini Pershij prostij vipadok ce prostir postijnoyi krivini v yakomu tenzor Rimana proporcijnij metrichnij matroshci chetvertogo rangu z postijnim koeficiyentom proporcijnosti K displaystyle K 46 Rijkl Kgij kl K gikgjl gilgjk displaystyle 46 qquad R ijkl Kg ij kl K left g ik g jl g il g jk right Mi mozhemo pereviriti dlya dvoh naboriv funkcij gij u1 u2 un displaystyle g ij u 1 u 2 dots u n i g ij u1 u2 un displaystyle hat g ij u 1 u 2 dots u n chi zadovolnyayut voni rivnyannya 46 z odnim i tim zhe koeficiyentom K displaystyle K Prodovzhuyuchi analogiyu z fotografiyami ce ekvivalentno sho mi mayemo dvi rivnomirno zasvicheni fotografiyi vsi pikseli bitmapi dorivnyuyut odnomu i tomu zh chislu Mala deformaciya sistemi koordinat Drugij prostij vipadok koli sistema koordinat zmishuyetsya na malij vektor vi displaystyle v i 47 u i ui vi displaystyle 47 qquad hat u i u i v i Malist zmishennya oznachaye sho mi mozhemo rozklasti funkciyi metrichnogo tenzora v ryad Tejlora i obmezhitisya linijnim chlenom 48 g ij u g ij u vk kg ij displaystyle 48 qquad hat g ij hat u hat g ij u v k partial k hat g ij Znajdemo variaciyu komponent metrichnogo tenzora riznicya funkcij pri odnih i tih zhe argumentah 49 dgij g ij u gij u displaystyle 49 qquad delta g ij hat g ij u g ij u Pidstavimo 49 v 48 50 g ij u gij dgij vk kgij displaystyle 50 qquad hat g ij hat u g ij delta g ij v k partial k g ij Dali zapishemo formulu zamini koordinat 51 gij u k ui u l ujg kl displaystyle 51 qquad g ij partial hat u k over partial u i partial hat u l over partial u j hat g kl Matrici perehodu dlya funkcij 47 legko obchislyuyutsya 52 u k ui dik ivk displaystyle 52 qquad partial hat u k over partial u i delta i k partial i v k Pidstavimo 52 i 50 v 51 53 gij dik ivk djl jvl gkl dgkl vs sg kl displaystyle 53 qquad g ij left delta i k partial i v k right left delta j l partial j v l right left g kl delta g kl v s partial s hat g kl right Rozkriyemo duzhki zberigayuchi lishe postijni ta linijni po vi displaystyle v i dodanki Pislya skorochen oderzhuyemo 54 0 dgij ivk gkj jvl gil sgij vs 0 displaystyle 54 qquad 0 delta g ij left partial i v k right g kj left partial j v l right g il left partial s g ij right v s 0 zvidki 55 dgij ivj jvi displaystyle 55 qquad delta g ij left nabla i v j nabla j v i right Cya formula zastosovuyetsya dlya vivodu linearizovanogo rivnyannya Ejnshtejna v teoriyi gravitaciyi Analogom cogo vipadku v mashinnij obrobci zobrazhen ye algoritm linijnogo stezhennya za ruhomimi ob yektami po dvoh sumizhnih kadrah videokameri Dana analogiya lishe konceptualna formuli vihodyat rizni UzagalnennyaMetrichnij tenzor dopuskaye uzagalnennya yake ne obmezhuyetsya dijsnimi dodatno viznachenimi matricyami U psevdometrici bilshist formul vnutrishnoyi geometriyi zalishayutsya nezminnimi mozhna rozglyadati ponyattya geodezichnoyi liniyi kovariatnogo diferenciyuvannya tenzora Rimana Ale neviznachenist znakiv vnosit korektivi v interpretaciyu cih ponyat Zokrema geodezichna liniya ne zavzhdi ye najkorotshim shlyahom ponyattya vidstani staye skladnishim nizh u evklidovomu vipadku ce mozhe buti korin z vid yemnogo chisla Do vivchennya psevdometriki sponukayut vlastivosti fizichnogo prostoru v yakomu mi zhivemo Div takozhMetrika LorencaLiteraturaMetrichnij tenzor Giperprostir Michio Kajku Per z anglijskoyi Anzhela Kam yanec Nauk red Ivan Vakarchuk Lviv Litopis 2019 S 60