Метрика Лоренца

Ме́трика Ло́ренца — псевдоевклідова метрика простору Мінковського, що природно виникає у спеціальній теорії відносності, і як тривіальний частковий випадок — у загальній теорії відносності.

Плоский простір Мінковського з координатами ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\ }$, що використовується у спеціальній теорії відносності, має метричний тензор

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\ }$

Тут ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$ — звичайні прямокутні рівномасштабні декартові координати, а ${\displaystyle t}$ — час, виміряний у цій системі відліку, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла.

За допомогою цього тензора визначається інтервал

${\displaystyle ds={\sqrt {g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}={\sqrt {c^{2}(dt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^{2}}},}$

інваріантний відносно перетворень Лоренца аналог і узагальнення 3-вимірної відстані у фізичному просторі на 4-вимірний простір час (в останній формулі двійка означає не індекс, а степінь).

Для кривої, всі точки якої стосуються одного й того ж моменту часу, формула довжини кривої зводиться до звичайної тривимірної форми. Для часоподібної кривої, формула довжини дає власний час уздовж кривої.

Метрика Мінковського є псевдоевклідовою метрикою: як бачимо, вона не додатно визначена, при цьому постійна (представлена не залежною від координат матрицею у звичайних декартових координатах) і описує, таким чином, плоский псевдоевклідів простір.

Всі закони фізики (якщо залишити осторонь гравітацію) записуються однаково у всіх інерціальних системах відліку, при цьому описана щойно метрика Лоренца інваріантна для всіх цих систем відліку, якщо використовувати природні фізичні процедури вимірювання. Перерахунок фізичних величин (зокрема відстаней і кутів) між різними системами відліку здійснюється перетвореннями Лоренца, що зберігають інваріантність цієї метрики.

Важливою особливістю метрики Мінковського є наявність світлового конуса, що складається з векторів нульової довжини і обмежує ділянки майбутнього і минулого відносно заданої події.

Зауваження

• Для метрики Мінковського (лоренцевої метрики), описаної тут, дуже часто застосовується спеціальне позначення ${\displaystyle \eta _{ij}\ }$.
• Іноді метрика Мінковського береться з протилежним знаком, тобто ${\displaystyle (-1,+1,+1,+1)}$. Більше того, історично така сигнатура з'явилася першою у Мінковського, який ввів її за допомогою множення ${\displaystyle x^{0}}$ на уявну одиницю^[], тобто ${\displaystyle x^{0}=\imath ct}$ (тоді метрика формально мала звичайний евклідів вигляд, тобто скалярний добуток обчислювався просто підсумовуванням добутків компонент, але реально була з точністю до знака тією ж, що й описана на початку цієї статті).

Література

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — будь-яке видання.
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — будь-яке видання.
• Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.
• Герман Вейль. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности, — будь-яке видання.
• Дирак П. А. М. Общая теория относительности, — М.: Атомиздат, 1978.
• Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, — М.: ГИФМЛ, 1961.

Див. також

• Простір Мінковського
• Псевдоевклідів простір
• Перетворення Лоренца
• Світловий конус